Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1404

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to\infty}\left[x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right]

Ответ:

\dfrac{1}{2}

Решение

Идея

Сделаем замену переменной

t = \frac{1}{x}

. При

x \to \infty

новая переменная

t \to 0

. Предел принимает вид:

\lim_{t\to0}\left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}\ln(1+t) \right] = \lim_{t\to0}\frac{t - \ln(1+t)}{t^2}

Воспользуемся разложением Маклорена для логарифма:

\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)

Подставим разложение в числитель дроби:

\lim_{t\to0}\frac{t - \left( t - \frac{t^2}{2} + o(t^2) \right)}{t^2} = \lim_{t\to0}\frac{\frac{t^2}{2} - o(t^2)}{t^2} = \frac{1}{2}