Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1405

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1405

lim⁡x→0(1x−1sin⁡x)\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\sin x}\right)
Ответ:00

Решение

Приведём выражение к общему знаменателю:lim⁡x→0sin⁡x−xxsin⁡x\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x\sin x}В знаменателе заменим sin⁡x\sin x на эквивалентную бесконечно малую xx, что даёт x⋅x=x2x \cdot x = x^2. В числителе разложим sin⁡x\sin x по формуле Маклорена:sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)Подставим в предел:lim⁡x→0(x−x36+o(x3))−xx2=lim⁡x→0−x36+o(x3)x2=lim⁡x→0(−x6)=0\lim_{x\to0}\frac{\left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) - x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^2} = \lim_{x\to0}\left(-\frac{x}{6}\right) = 0
Демидович № 1405 — решение и ответ