Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1405

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Используя разложения Тейлора, найти предел:

\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\sin x}\right)

Ответ:

0

Решение

Приведём выражение к общему знаменателю:

\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x\sin x}

В знаменателе заменим

\sin x

на эквивалентную бесконечно малую

x

, что даёт

x \cdot x = x^2

. В числителе разложим

\sin x

по формуле Маклорена:

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

Подставим в предел:

\lim_{x\to0}\frac{\left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) - x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^2} = \lim_{x\to0}\left(-\frac{x}{6}\right) = 0