Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1397

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1397

Вычислить:а) e с точностью до 10−9;б) sin⁡1∘ с точностью до 10−8;\text{а) }e\text{ с точностью до }10^{-9}; \qquad \text{б) }\sin1^\circ\text{ с точностью до }10^{-8};в) cos⁡9∘ с точностью до 10−5;г) 5 с точностью до 10−4;\text{в) }\cos9^\circ\text{ с точностью до }10^{-5}; \qquad \text{г) }\sqrt5\text{ с точностью до }10^{-4};д) lg⁡11 с точностью до 10−5.\text{д) }\lg11\text{ с точностью до }10^{-5}.

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Используем ряд e=∑k=0n1k!e = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}. Остаток Rn≤3(n+1)!R_n \le \frac{3}{(n+1)!}. Требуется 3(n+1)!<10−9  ⟹  (n+1)!>3⋅109\frac{3}{(n+1)!} < 10^{-9} \implies (n+1)! > 3 \cdot 10^9. Это выполняется при n=12n = 12 (13!≈6,2⋅10913! \approx 6{,}2 \cdot 10^9).e≈1+1+12+16+⋯+112!≈2,718281828e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{12!} \approx 2{,}718281828
  2. 2

    Пункт б)

    sin⁡1∘=sin⁡π180\sin 1^\circ = \sin\frac{\pi}{180}. Погрешность знакочередующегося ряда: Δ≤(π/180)2k+1(2k+1)!\Delta \le \frac{(\pi/180)^{2k+1}}{(2k+1)!}. Для π180≈0,01745329\frac{\pi}{180} \approx 0{,}01745329 достаточно двух членов, так как третий член (π/180)5120≈1,3⋅10−11<10−8\frac{(\pi/180)^5}{120} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-11} < 10^{-8}.sin⁡1∘≈π180−16(π180)3≈0,01745329−0,00000088≈0,01745241\sin 1^\circ \approx \frac{\pi}{180} - \frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{180}\right)^3 \approx 0{,}01745329 - 0{,}00000088 \approx 0{,}01745241
  3. 3

    Пункт в)

    cos⁡9∘=cos⁡π20\cos 9^\circ = \cos\frac{\pi}{20}. π20≈0,1570796\frac{\pi}{20} \approx 0{,}1570796. Остаток x6720≈(0,157)6720≈2⋅10−8<10−5\frac{x^6}{720} \approx \frac{(0{,}157)^6}{720} \approx 2 \cdot 10^{-8} < 10^{-5}, следовательно, достаточно трёх членов:cos⁡9∘≈1−12(π20)2+124(π20)4≈1−0,0123370+0,0000254≈0,98769\cos 9^\circ \approx 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{20}\right)^2 + \frac{1}{24}\left(\frac{\pi}{20}\right)^4 \approx 1 - 0{,}0123370 + 0{,}0000254 \approx 0{,}98769
  4. 4

    Пункт г)

    5=4+1=2(1+14)12\sqrt{5} = \sqrt{4+1} = 2\left(1+\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}. Биномиальный ряд:2(1+18−1128+11024−532768+7262144−… )2 \left( 1 + \frac{1}{8} - \frac{1}{128} + \frac{1}{1024} - \frac{5}{32768} + \frac{7}{262144} - \dots \right)Так как 7262144≈2,6⋅10−5<10−4\frac{7}{262144} \approx 2{,}6 \cdot 10^{-5} < 10^{-4}, суммы первых пяти членов достаточно:5≈2(1+0,125−0,0078125+0,0009765−0,0001526)=2(1,118011)≈2,2360\sqrt{5} \approx 2(1 + 0{,}125 - 0{,}0078125 + 0{,}0009765 - 0{,}0001526) = 2(1{,}118011) \approx 2{,}2360
  5. 5

    Пункт д)

    lg⁡11=lg⁡10+lg⁡1,1=1+ln⁡1,1ln⁡10\lg 11 = \lg 10 + \lg 1{,}1 = 1 + \frac{\ln 1{,}1}{\ln 10}. Используем ряд ln⁡(1+x)=x−x22+x33−…\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots при x=0,1x=0{,}1:ln⁡1,1≈0,1−0,005+0,000333−0,000025+0,000002=0,095310\ln 1{,}1 \approx 0{,}1 - 0{,}005 + 0{,}000333 - 0{,}000025 + 0{,}000002 = 0{,}095310Известно, что M=1ln⁡10≈0,434294M = \frac{1}{\ln 10} \approx 0{,}434294. Умножаем:lg⁡11≈1+0,434294⋅0,095310≈1+0,04139=1,04139\lg 11 \approx 1 + 0{,}434294 \cdot 0{,}095310 \approx 1 + 0{,}04139 = 1{,}04139
Демидович № 1397 — решение