Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1411

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1411

Считая

|x|

малой величиной, вывести простые приближённые формулы для следующих выражений:

\text{а) }\frac1{R^2}-\frac1{(R+x)^2}\qquad(R>0);

\text{б) }\sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}-\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}};

\text{в) }\frac A x\left[1-\left(1+\frac{x}{100}\right)^{-n}\right];\qquad\text{г) }\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{x}{100}\right)}.

Ответ:а)

\dfrac{2x}{R^3}

; \quad б)

\dfrac{4}{3}x

; \quad в)

\dfrac{An}{100} - \dfrac{An(n+1)}{20000}x

; \quad г)

\dfrac{100\ln 2}{x} + \dfrac{\ln 2}{2}

Решение

Идея

Для вывода простых приближённых формул будем использовать разложения функций по формуле Маклорена (Тейлора в окрестности нуля) до первых ненулевых (иногда линейных) членов.

1
Пункт а)
Преобразуем выражение: $\frac{1}{R^2} - \frac{1}{R^2(1 + x/R)^2} = \frac{1}{R^2} \left( 1 - \left(1 + \frac{x}{R}\right)^{-2} \right)$ Воспользуемся биномиальным разложением $(1+t)^\alpha \approx 1 + \alpha t$ при $t = \frac{x}{R} \to 0$ и $\alpha = -2$ : $\frac{1}{R^2} \left( 1 - \left( 1 - \frac{2x}{R} + o(x) \right) \right) \approx \frac{1}{R^2} \cdot \frac{2x}{R} = \frac{2x}{R^3}$
2
Пункт б)
Обозначим $y = \sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}$ . Тогда заданное выражение равно $y - \frac{1}{y}$ . Найдём разложение для $y$ : $y = (1+x)^{\frac{1}{3}}(1-x)^{-\frac{1}{3}}$ Используя $(1+t)^\alpha \approx 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}t^2$ , получаем: $(1+x)^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{9}$ $(1-x)^{-\frac{1}{3}} \approx 1 + \frac{x}{3} + \frac{2x^2}{9}$ Перемножим эти разложения с точностью до $x^2$ : $y \approx \left(1 + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{9}\right) \left(1 + \frac{x}{3} + \frac{2x^2}{9}\right) \approx 1 + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{2x^2}{9} - \frac{x^2}{9} + \frac{x^2}{9} = 1 + \frac{2x}{3} + \frac{2x^2}{9}$ Тогда обратная величина $\frac{1}{y} = \sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}$ (получается заменой $x$ на $-x$ ): $\frac{1}{y} \approx 1 - \frac{2x}{3} + \frac{2x^2}{9}$ Вычислим разность: $y - \frac{1}{y} \approx \left(1 + \frac{2x}{3} + \frac{2x^2}{9}\right) - \left(1 - \frac{2x}{3} + \frac{2x^2}{9}\right) = \frac{4x}{3}$
3
Пункт в)
Воспользуемся разложением $(1+t)^\alpha \approx 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}t^2$ : $\left(1+\frac{x}{100}\right)^{-n} \approx 1 - \frac{nx}{100} + \frac{-n(-n-1)}{2}\frac{x^2}{10000} = 1 - \frac{nx}{100} + \frac{n(n+1)x^2}{20000}$ Подставим это в исходное выражение: $\frac{A}{x}\left[ 1 - \left( 1 - \frac{nx}{100} + \frac{n(n+1)x^2}{20000} \right) \right] = \frac{A}{x} \left( \frac{nx}{100} - \frac{n(n+1)x^2}{20000} \right) \approx \frac{An}{100} - \frac{An(n+1)}{20000}x$ (В качестве самой грубой оценки можно взять просто главный член: $\frac{An}{100}$ ).
4
Пункт г)
Используем разложение логарифма $\ln(1+t) \approx t - \frac{t^2}{2}$ : $\ln\left(1+\frac{x}{100}\right) \approx \frac{x}{100} - \frac{x^2}{20000} = \frac{x}{100}\left(1 - \frac{x}{200}\right)$ Тогда исходное выражение: $\frac{\ln2}{\frac{x}{100}\left(1 - \frac{x}{200}\right)} = \frac{100\ln 2}{x} \left(1 - \frac{x}{200}\right)^{-1} \approx \frac{100\ln 2}{x} \left(1 + \frac{x}{200}\right) = \frac{100\ln 2}{x} + \frac{\ln 2}{2}$