Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1411

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1411

Считая ∣x∣|x| малой величиной, вывести простые приближённые формулы для следующих выражений:а) 1R2−1(R+x)2(R>0);\text{а) }\frac1{R^2}-\frac1{(R+x)^2}\qquad(R>0);б) 1+x1−x3−1−x1+x3;\text{б) }\sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}-\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}};в) Ax[1−(1+x100)−n];г) ln⁡2ln⁡(1+x100).\text{в) }\frac A x\left[1-\left(1+\frac{x}{100}\right)^{-n}\right];
\qquad
\text{г) }\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{x}{100}\right)}.
Ответ:а) 2xR3\dfrac{2x}{R^3}; \quad б) 43x\dfrac{4}{3}x; \quad в) An100−An(n+1)20000x\dfrac{An}{100} - \dfrac{An(n+1)}{20000}x; \quad г) 100ln⁡2x+ln⁡22\dfrac{100\ln 2}{x} + \dfrac{\ln 2}{2}.

Решение

Все параметры считаем фиксированными; разложения относятся к x→0x\to0.

а) Вынесем R2R^2 из знаменателя:1R2−1(R+x)2=1R2[1−(1+x/R)−2].\frac1{R^2}-\frac1{(R+x)^2}
=\frac1{R^2}\left[1-(1+x/R)^{-2}\right].При ∣x∣<R/2|x|<R/2 функция определена, и по формуле Тейлора(1+x/R)−2=1−2xR+O(x2).(1+x/R)^{-2}=1-\frac{2x}R+O(x^2).Следовательно,1R2−1(R+x)2=2xR3+O(x2)≈2xR3.\frac1{R^2}-\frac1{(R+x)^2}=\frac{2x}{R^3}+O(x^2)
\approx\frac{2x}{R^3}.Практически малым должен быть именно безразмерный параметр ∣x∣/R|x|/R.

б) При ∣x∣<1|x|<1 положим y(x)=(1+x)1/3(1−x)−1/3y(x)=(1+x)^{1/3}(1-x)^{-1/3}. По биномиальной формуле(1+x)1/3=1+x3−x29+O(x3),(1−x)−1/3=1+x3+2x29+O(x3).(1+x)^{1/3}=1+\frac x3-\frac{x^2}9+O(x^3),\qquad
(1-x)^{-1/3}=1+\frac x3+\frac{2x^2}9+O(x^3).После умножения линейный коэффициент равен 1/3+1/3=2/31/3+1/3=2/3, а квадратичный — −1/9+2/9+1/9=2/9-1/9+2/9+1/9=2/9. Поэтомуy(x)=1+2x3+2x29+O(x3).y(x)=1+\frac{2x}3+\frac{2x^2}9+O(x^3).Вторая кубическая степень в условии равна y(−x)y(-x). При вычитании постоянные и квадратичные члены сокращаются:y(x)−y(−x)=4x3+O(x3)≈4x3.y(x)-y(-x)=\frac{4x}3+O(x^3)\approx\frac{4x}3.в) При x≠0x\ne0, ∣x∣<50|x|<50 используем разложение(1+x/100)−n=1−nx100+n(n+1)x220000+O(x3).(1+x/100)^{-n}
=1-\frac{nx}{100}+\frac{n(n+1)x^2}{20000}+O(x^3).Квадратичный коэффициент получен из (−n)(−n−1)/(2⋅1002)(-n)(-n-1)/(2\cdot100^2). После вычитания из 11 и умножения на A/xA/xAx[1−(1+x/100)−n]=An100−An(n+1)20000x+O(x2).\frac Ax[1-(1+x/100)^{-n}]
=\frac{An}{100}-\frac{An(n+1)}{20000}x+O(x^2).Получаем приближение из двух членов; если нужна только главная часть, достаточно An/100An/100.

г) Положим t=x/100t=x/100. При малом t≠0t\ne0 имеемln⁡(1+t)=t(1−t2+O(t2)).\ln(1+t)=t\left(1-\frac t2+O(t^2)\right).Выражение в скобках стремится к 11 и отлично от нуля. Обращаем его по формуле 1/(1+u)=1−u+O(u2)1/(1+u)=1-u+O(u^2):11−t/2+O(t2)=1+t2+O(t2).\frac1{1-t/2+O(t^2)}=1+\frac t2+O(t^2).Следовательно,ln⁡2ln⁡(1+x/100)=ln⁡2t(1+t2+O(t2))=100ln⁡2x+ln⁡22+O(x).\frac{\ln2}{\ln(1+x/100)}
=\frac{\ln2}{t}\left(1+\frac t2+O(t^2)\right)
=\frac{100\ln2}{x}+\frac{\ln2}2+O(x).Приближённая формула состоит из двух выписанных слагаемых; её абсолютная ошибка стремится к нулю вместе с xx.
Демидович № 1411 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика