Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1403

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Используя разложения Тейлора, найти предел:

\lim_{x\to0}\frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}\qquad(a>0)

Ответ:

\ln^2 a

Решение

Разложим функции

a^x

a^{-x}

по формуле Маклорена, представив их в виде

a^x = e^{x\ln a}

a^{-x} = e^{-x\ln a}

e^{x\ln a} = 1 + x\ln a + \frac{(x\ln a)^2}{2} + o(x^2) = 1 + x\ln a + \frac{x^2\ln^2 a}{2} + o(x^2)

e^{-x\ln a} = 1 - x\ln a + \frac{(-x\ln a)^2}{2} + o(x^2) = 1 - x\ln a + \frac{x^2\ln^2 a}{2} + o(x^2)

Подставим эти разложения в числитель:

a^x + a^{-x} - 2 = \left( 1 + x\ln a + \frac{x^2\ln^2 a}{2} \right) + \left( 1 - x\ln a + \frac{x^2\ln^2 a}{2} \right) - 2 + o(x^2)

Слагаемые с первой степенью

x

взаимно уничтожаются:

2 + x^2\ln^2 a - 2 + o(x^2) = x^2\ln^2 a + o(x^2)

Переходим к пределу:

\lim_{x\to0}\frac{x^2\ln^2 a + o(x^2)}{x^2} = \ln^2 a

Проверка

При

a=1

числитель тождественно равен нулю, и результат

\ln^21=0

остаётся верным. Для любого фиксированного

a>0

использованные экспоненты определены при всех вещественных

x