Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1410

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1410

1. При каком подборе коэффициентов

a

b

величина

x-(a+b\cos x)\sin x

будет бесконечно малой 5-го порядка относительно

x

?
2. Подобрать коэффициенты

A

B

так, чтобы при

x\to0

имело место асимптотическое равенство

\operatorname{ctg} x=\frac{1+Ax^2}{x+Bx^3}+O(x^5)

.
3. При каких коэффициентах

A,B,C,D

справедлива при

x\to0

асимптотическая формула

e^x=\frac{1+Ax+Bx^2}{1+Cx+Dx^2}+O(x^5)

Ответ:1.

a = \dfrac{4}{3}

b = -\dfrac{1}{3}

.
2.

A = -\dfrac{2}{5}

B = -\dfrac{1}{15}

.
3.

A = \dfrac{1}{2}

B = \dfrac{1}{12}

C = -\dfrac{1}{2}

D = \dfrac{1}{12}

Решение

1
Обозначим $y = x - (a+b\cos x)\sin x$ . Перепишем произведение: $(a+b\cos x)\sin x = a\sin x + \frac{b}{2}\sin(2x)$ Разложим синусы в ряд до 5-го порядка: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$ $\sin(2x) = 2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} + o(x^5) = 2x - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^5}{15} + o(x^5)$ Подставим в функцию $y$ :
\begin{align*}
y &= x - a\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right) - \frac{b}{2}\left(2x - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^5}{15}\right) + o(x^5)
&= x(1 - a - b) + x^3\left(\frac{a}{6} + \frac{2b}{3}\right) - x^5\left(\frac{a}{120} + \frac{2b}{15}\right) + o(x^5)
\end{align*}
Чтобы величина была бесконечно малой 5-го порядка, коэффициенты при $x$ и $x^3$ должны быть равны нулю, а при $x^5$ — отличен от нуля: $\begin{cases}1 - a - b = 0 \\\dfrac{a}{6} + \dfrac{2b}{3} = 0\end{cases} \implies\begin{cases}a + b = 1 \\a + 4b = 0\end{cases}$ Вычитая из второго уравнения первое, получим $3b = -1 \implies b = -\frac{1}{3}$ . Тогда $a = \frac{4}{3}$ .
Коэффициент при $x^5$ равен $-\left(\frac{4/3}{120} - \frac{2/3}{15}\right) = -\left(\frac{1}{90} - \frac{4}{90}\right) = \frac{1}{30} \ne 0$ . Порядок действительно пятый.

Исходное равенство $\operatorname{ctg} x = \frac{1+Ax^2}{x+Bx^3} + O(x^5)$ домножим на знаменатель $(x+Bx^3)$ : $(x+Bx^3)\operatorname{ctg} x = 1 + Ax^2 + O(x^6)$ Воспользуемся стандартным разложением $x\operatorname{ctg} x = 1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{45} + O(x^6)$ : $(1 + Bx^2) x\operatorname{ctg} x = (1 + Bx^2)\left(1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{45} + O(x^6)\right)$ $= 1 + x^2\left(B - \frac{1}{3}\right) + x^4\left(-\frac{B}{3} - \frac{1}{45}\right) + O(x^6)$ Приравняем коэффициенты к многочлену $1 + Ax^2 + 0 \cdot x^4$ : $\begin{cases}B - \dfrac{1}{3} = A \\[2mm]-\dfrac{B}{3} - \dfrac{1}{45} = 0\end{cases}$ Из второго уравнения находим $B = -\frac{1}{15}$ .
Подставим в первое уравнение: $A = -\frac{1}{15} - \frac{1}{3} = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$ .
2
Домножим равенство $e^x = \frac{1+Ax+Bx^2}{1+Cx+Dx^2} + O(x^5)$ на знаменатель: $(1+Cx+Dx^2)e^x = 1+Ax+Bx^2 + O(x^5)$ Подставим разложение экспоненты $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + O(x^5)$ : $(1+Cx+Dx^2)\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\right)$ Сгруппируем слагаемые по степеням $x$ до четвёртой включительно: $1 + x(1+C) + x^2\left(\frac{1}{2} + C + D\right) + x^3\left(\frac{1}{6} + \frac{C}{2} + D\right) + x^4\left(\frac{1}{24} + \frac{C}{6} + \frac{D}{2}\right) + O(x^5)$ Приравниваем коэффициенты к правой части $1 + Ax + Bx^2 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^4$ : $\begin{cases}1 + C = A \\\dfrac{1}{2} + C + D = B \\\dfrac{1}{6} + \dfrac{C}{2} + D = 0 \\[2mm]\dfrac{1}{24} + \dfrac{C}{6} + \dfrac{D}{2} = 0\end{cases}$ Решим систему из двух последних уравнений. Умножим третье на 2, а четвёртое на 6: $\begin{cases}C + 2D = -\dfrac{1}{3} \\[2mm]C + 3D = -\dfrac{1}{4}\end{cases}$ Вычитая из второго первое, получаем $D = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$ .
Тогда $C = -\frac{1}{3} - 2\left(\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{2}$ .
Найдём оставшиеся коэффициенты:
$A = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ .
$B = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$ .