Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1410

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1410

1. При каком подборе коэффициентов aa и bb величина x−(a+bcos⁡x)sin⁡xx-(a+b\cos x)\sin x будет бесконечно малой 5-го порядка относительно xx?
2. Подобрать коэффициенты AA и BB так, чтобы при x→0x\to0 имело место асимптотическое равенство ctg⁡x=1+Ax2x+Bx3+O(x5)\operatorname{ctg} x=\frac{1+Ax^2}{x+Bx^3}+O(x^5).
3. При каких коэффициентах A,B,C,DA,B,C,D справедлива при x→0x\to0 асимптотическая формула ex=1+Ax+Bx21+Cx+Dx2+O(x5)e^x=\frac{1+Ax+Bx^2}{1+Cx+Dx^2}+O(x^5)?
Ответ:1. a=43a = \dfrac{4}{3}, b=−13b = -\dfrac{1}{3}.
2. A=−25A = -\dfrac{2}{5}, B=−115B = -\dfrac{1}{15}.
3. A=12A = \dfrac{1}{2}, B=112B = \dfrac{1}{12}, C=−12C = -\dfrac{1}{2}, D=112D = \dfrac{1}{12}.

Решение

Обозначим y=x−(a+bcos⁡x)sin⁡xy = x - (a+b\cos x)\sin x. Перепишем произведение:(a+bcos⁡x)sin⁡x=asin⁡x+b2sin⁡(2x)(a+b\cos x)\sin x = a\sin x + \frac{b}{2}\sin(2x)Разложим синусы в ряд до 5-го порядка:sin⁡x=x−x36+x5120+o(x5)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)sin⁡(2x)=2x−8x36+32x5120+o(x5)=2x−4x33+4x515+o(x5)\sin(2x) = 2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} + o(x^5) = 2x - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^5}{15} + o(x^5)Подставим в функцию yy:
\begin{align*}
y &= x - a\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right) - \frac{b}{2}\left(2x - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^5}{15}\right) + o(x^5)\\
&= x(1 - a - b) + x^3\left(\frac{a}{6} + \frac{2b}{3}\right) - x^5\left(\frac{a}{120} + \frac{2b}{15}\right) + o(x^5)
\end{align*}
Чтобы величина была бесконечно малой 5-го порядка, коэффициенты при xx и x3x^3 должны быть равны нулю, а при x5x^5 — отличен от нуля:{1−a−b=0a6+2b3=0  ⟹  {a+b=1a+4b=0\begin{cases}
1 - a - b = 0 \\
\dfrac{a}{6} + \dfrac{2b}{3} = 0
\end{cases} \implies
\begin{cases}
a + b = 1 \\
a + 4b = 0
\end{cases}Вычитая из второго уравнения первое, получим 3b=−1  ⟹  b=−133b = -1 \implies b = -\frac{1}{3}. Тогда a=43a = \frac{4}{3}.
Коэффициент при x5x^5 равен −(4/3120−2/315)=−(190−490)=130≠0-\left(\frac{4/3}{120} - \frac{2/3}{15}\right) = -\left(\frac{1}{90} - \frac{4}{90}\right) = \frac{1}{30} \ne 0. Порядок действительно пятый.

Исходное равенство ctg⁡x=1+Ax2x+Bx3+O(x5)\operatorname{ctg} x = \frac{1+Ax^2}{x+Bx^3} + O(x^5) домножим на знаменатель (x+Bx3)(x+Bx^3):(x+Bx3)ctg⁡x=1+Ax2+O(x6)(x+Bx^3)\operatorname{ctg} x = 1 + Ax^2 + O(x^6)Получим нужное разложение котангенса. По №1386 и гладкости нечётной функции tan⁡x\tan xtan⁡xx=1+x23+2x415+O(x6).\frac{\tan x}x=1+\frac{x^2}3+\frac{2x^4}{15}+O(x^6).Остаток O(x6)O(x^6) следует из формулы Тейлора тангенса степени 66 с остатком O(x7)O(x^7) и последующего деления на xx. По формуле обращения 1/(1+u)=1−u+u2+O(u3)1/(1+u)=1-u+u^2+O(u^3) получаемxcot⁡x=1−x23+(19−215)x4+O(x6)=1−x23−x445+O(x6).x\cot x=1-\frac{x^2}3+\left(\frac19-\frac2{15}\right)x^4+O(x^6)
=1-\frac{x^2}3-\frac{x^4}{45}+O(x^6).Здесь 1/9−2/15=(5−6)/45=−1/451/9-2/15=(5-6)/45=-1/45. Подставляем:(1+Bx2)xctg⁡x=(1+Bx2)(1−x23−x445+O(x6))(1 + Bx^2) x\operatorname{ctg} x = (1 + Bx^2)\left(1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{45} + O(x^6)\right)=1+x2(B−13)+x4(−B3−145)+O(x6)= 1 + x^2\left(B - \frac{1}{3}\right) + x^4\left(-\frac{B}{3} - \frac{1}{45}\right) + O(x^6)Приравняем коэффициенты к многочлену 1+Ax2+0⋅x41 + Ax^2 + 0 \cdot x^4:{B−13=A−B3−145=0\begin{cases}
B - \dfrac{1}{3} = A \\[2mm]
-\dfrac{B}{3} - \dfrac{1}{45} = 0
\end{cases}Из второго уравнения находим B=−115B = -\frac{1}{15}.
Подставим в первое уравнение: A=−115−13=−615=−25A = -\frac{1}{15} - \frac{1}{3} = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}.
Домножим равенство ex=1+Ax+Bx21+Cx+Dx2+O(x5)e^x = \frac{1+Ax+Bx^2}{1+Cx+Dx^2} + O(x^5) на знаменатель:(1+Cx+Dx2)ex=1+Ax+Bx2+O(x5)(1+Cx+Dx^2)e^x = 1+Ax+Bx^2 + O(x^5)Подставим разложение экспоненты ex=1+x+x22+x36+x424+O(x5)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + O(x^5):(1+Cx+Dx2)(1+x+x22+x36+x424)(1+Cx+Dx^2)\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\right)Сгруппируем слагаемые по степеням xx до четвёртой включительно:1+x(1+C)+x2(12+C+D)+x3(16+C2+D)+x4(124+C6+D2)+O(x5)1 + x(1+C) + x^2\left(\frac{1}{2} + C + D\right) + x^3\left(\frac{1}{6} + \frac{C}{2} + D\right) + x^4\left(\frac{1}{24} + \frac{C}{6} + \frac{D}{2}\right) + O(x^5)Приравниваем коэффициенты к правой части 1+Ax+Bx2+0⋅x3+0⋅x41 + Ax + Bx^2 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^4:{1+C=A12+C+D=B16+C2+D=0124+C6+D2=0\begin{cases}
1 + C = A \\
\dfrac{1}{2} + C + D = B \\
\dfrac{1}{6} + \dfrac{C}{2} + D = 0 \\[2mm]
\dfrac{1}{24} + \dfrac{C}{6} + \dfrac{D}{2} = 0
\end{cases}Решим систему из двух последних уравнений. Умножим третье на 2, а четвёртое на 6:{C+2D=−13C+3D=−14\begin{cases}
C + 2D = -\dfrac{1}{3} \\[2mm]
C + 3D = -\dfrac{1}{4}
\end{cases}Вычитая из второго первое, получаем D=−14+13=112D = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12}.
Тогда C=−13−2(112)=−12C = -\frac{1}{3} - 2\left(\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{2}.
Найдём оставшиеся коэффициенты:
A=1+(−12)=12A = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}.
B=12−12+112=112B = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}.

Проверка

В пункте 2 знаменатель равен x(1−x2/15)x(1-x^2/15) и не обращается в нуль при достаточно малом x≠0x\ne0. Деление остатка O(x6)O(x^6) на этот знаменатель даёт O(x5)O(x^5). В пункте 3 знаменатель 1−x/2+x2/121-x/2+x^2/12 стремится к 11; деление на него сохраняет остаток O(x5)O(x^5). Поэтому найденные коэффициенты не только необходимы, но и обеспечивают требуемые равенства.
Демидович № 1410 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика