Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1380

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной

x

до члена с

x^2

включительно функции:

f(x) = \sqrt{1-2x+x^3}-\sqrt[3]{1-3x+x^2}.

Ответ:

\frac{1}{6}x^2

Решение

Идея

Разложим каждый корень отдельно, используя формулу

(1+t)^\alpha = 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}t^2 + o(t^2)

1
Для первого корня $\alpha = \frac{1}{2}$ , $t = -2x+x^3$ : $(1 - 2x + x^3)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}(-2x+x^3) + \frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}(-2x+x^3)^2 + o(x^2)$ Сохраняем только степени до второй: $= 1 - x + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{8}(4x^2 + o(x^2)) = 1 - x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$
2
Для второго корня $\alpha = \frac{1}{3}$ , $t = -3x+x^2$ : $(1 - 3x + x^2)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(-3x+x^2) + \frac{\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)}{2}(-3x+x^2)^2 + o(x^2)$ $= 1 - x + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{9}(9x^2 + o(x^2)) = 1 - x + \frac{1}{3}x^2 - x^2 + o(x^2) = 1 - x - \frac{2}{3}x^2 + o(x^2)$

Проверка

Вычтем из первого разложения второе:

f(x) = \left( 1 - x - \frac{1}{2}x^2 \right) - \left( 1 - x - \frac{2}{3}x^2 \right) + o(x^2) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) x^2 + o(x^2) = \frac{1}{6}x^2 + o(x^2)