Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1379

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x2x^2 включительно функции:

Задача 1379

f(x)=am+xn(a>0).f(x) = \sqrt[n]{a^m+x}\qquad(a>0).
Ответ:amn+amn−mnx+(1−n)amn−2m2n2x2a^{\frac{m}{n}} + \frac{a^{\frac{m}{n}-m}}{n} x + \frac{(1-n)a^{\frac{m}{n}-2m}}{2n^2} x^2.

Решение

Идея

Вынесем ama^m за скобку, чтобы получить выражение вида (1+t)α(1+t)^\alpha:
am+xn=(am+x)1n=amn(1+xam)1n\sqrt[n]{a^m+x} = (a^m + x)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}} \left( 1 + \frac{x}{a^m} \right)^{\frac{1}{n}}Воспользуемся биномиальным разложением (1+t)α=1+αt+α(α−1)2t2+o(t2)(1+t)^\alpha = 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}t^2 + o(t^2), где t=xamt = \frac{x}{a^m} и α=1n\alpha = \frac{1}{n}:(1+xam)1n=1+1n⋅xam+1n(1n−1)2(xam)2+o(x2)\left( 1 + \frac{x}{a^m} \right)^{\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{n} \cdot \frac{x}{a^m} + \frac{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-1\right)}{2} \left(\frac{x}{a^m}\right)^2 + o(x^2)=1+xnam+1−n2n2a2mx2+o(x2)= 1 + \frac{x}{n a^m} + \frac{1-n}{2n^2 a^{2m}} x^2 + o(x^2)Умножим полученное выражение на amna^{\frac{m}{n}}:f(x)=amn+amn−mnx+(1−n)amn−2m2n2x2+o(x2)f(x) = a^{\frac{m}{n}} + \frac{a^{\frac{m}{n}-m}}{n} x + \frac{(1-n)a^{\frac{m}{n}-2m}}{2n^2} x^2 + o(x^2)