Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1390

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Функцию

y=a\operatorname{ch}\frac{x}{a}\qquad(a>0)

в окрестности точки

x=0

приближённо заменить параболой 2-го порядка.

Ответ:

y \approx a + \frac{x^2}{2a}

Решение

Идея

Заменить функцию параболой 2-го порядка в окрестности

x=0

— значит разложить её по формуле Маклорена до члена с

x^2

.
Известно стандартное разложение гиперболического косинуса:

\operatorname{ch} u = 1 + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} + \dots

Подставим

u = \frac{x}{a}

\operatorname{ch}\frac{x}{a} = 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{a}\right)^2 + o(x^2) = 1 + \frac{x^2}{2a^2} + o(x^2)

Умножим это разложение на

a

y = a \left( 1 + \frac{x^2}{2a^2} + o(x^2) \right) = a + \frac{x^2}{2a} + o(x^2)

Отбрасывая остаточный член

o(x^2)

, получаем уравнение параболы:

y \approx a + \frac{x^2}{2a}

Это уравнение цепной линии, которая вблизи своей нижней точки ведёт себя как обычная квадратичная парабола.