Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1394

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1394

Оценить абсолютную погрешность приближённых формул:

\text{а) }e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \quad\text{при }0\le x\le1;

\text{б) }\sin x\approx x-\frac{x^3}{6} \quad\text{при }|x|\le\frac12;

\text{в) }\operatorname{tg} x\approx x+\frac{x^3}{3} \quad\text{при }|x|\le0{,}1;

\text{г) }\sqrt{1+x}\approx1+\frac x2-\frac{x^2}{8} \quad\text{при }0\le x\le1.

Решение

Идея

Погрешность

\Delta

приближённой формулы Тейлора оценивается с помощью остаточного члена. Воспользуемся остаточным членом в форме Лагранжа:

R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!} x^{k+1}, \quad \text{где } c \text{ лежит между } 0 \text{ и } x.

1
Пункт а)
Для функции $f(x) = e^x$ производная любого порядка равна $e^x$ . Остаточный член формулы $n$ -го порядка: $|R_n(x)| = \frac{e^c}{(n+1)!} x^{n+1}$ На отрезке $x \in [0, 1]$ максимальное значение $x^{n+1} = 1$ , а $e^c \le e^1 = e$ . Следовательно: $\Delta \le \frac{e}{(n+1)!} \approx \frac{2{,}718}{(n+1)!}$
2
Пункт б)
Для $f(x) = \sin x$ многочлен Маклорена $x - \frac{x^3}{6}$ соответствует $n=4$ (так как коэффициент при $x^4$ равен $0$ ). Остаточный член 4-го порядка: $|R_4(x)| = \left| \frac{\sin^{(5)}(c)}{5!} x^5 \right| = \frac{|\cos c|}{120} |x|^5$ Учитывая, что $|\cos c| \le 1$ и $|x| \le \frac{1}{2}$ : $\Delta \le \frac{1}{120} \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{120 \cdot 32} = \frac{1}{3840} \approx 0{,}00026$
3
Пункт в)
Для $f(x) = \operatorname{tg} x$ разложение имеет вид $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$ Поскольку члены ряда (для $x>0$ ) положительны, погрешность отброшенных членов на интервале $|x| \le 0{,}1$ можно оценить первым отброшенным слагаемым: $\Delta \approx \frac{2}{15} |x|^5 \le \frac{2}{15} (0{,}1)^5 = \frac{2}{15 \cdot 100000} = \frac{1}{750000} \approx 1{,}33 \cdot 10^{-6}$
4
Пункт г)
Для $f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ приближение соответствует формуле Маклорена второго порядка. Остаточный член: $|R_2(x)| = \left| \frac{f'''(c)}{3!} x^3 \right|$ Найдём третью производную: $f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$ , $f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$ , $f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$ . $|R_2(x)| = \frac{3}{8 \cdot 6 (1+c)^{\frac{5}{2}}} x^3 = \frac{x^3}{16(1+c)^{\frac{5}{2}}}$ На отрезке $0 \le x \le 1$ максимум достигается при $x=1$ и наименьшем знаменателе ( $c=0$ ): $\Delta \le \frac{1^3}{16(1+0)^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{16} = 0{,}0625$