Раздел IV. Определённый интеграл — § 2

Демидович § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Условия, ответы и подробные решения задач 2219–2315

Задачи 2219–2315

82 из 82 с разбором

С помощью определённых интегралов найти пределы следующих сумм:

Задача 2219

lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\dots+\frac{n-1}{n^2}\right).

Задача 2220

lim⁡n→∞(1n+1+1n+2+⋯+1n+n)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\dots+\frac1{n+n}\right).

Задача 2221

lim⁡n→∞(nn2+12+nn2+22+⋯+nn2+n2)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac n{n^2+1^2}+\frac n{n^2+2^2}+\dots+\frac n{n^2+n^2}\right).

Задача 2222

lim⁡n→∞1n(sin⁡πn+sin⁡2πn+⋯+sin⁡(n−1)πn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(\sin\frac\pi n+\sin\frac{2\pi}n+\dots+\sin\frac{(n-1)\pi}n\right).

Задача 2223

lim⁡n→∞1p+2p+⋯+npnp+1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\dots+n^p}{n^{p+1}} (p>0)(p>0).

Задача 2224

lim⁡n→∞1n(1+1n+1+2n+⋯+1+nn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1+\frac2n}+\dots+\sqrt{1+\frac nn}\right).
Найти:

Задача 2225

lim⁡n→∞n!nn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n.

Задача 2226

lim⁡n→∞[1n∑k=1nf(a+kb−an)]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(a+k\frac{b-a}n\right)\right].
Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

Задача 2227

lim⁡n→∞[(1+1n)sin⁡πn2+(1+2n)sin⁡2πn2+⋯+(1+n−1n)sin⁡(n−1)πn2].\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac1n\right)\sin\frac\pi{n^2}
+\left(1+\frac2n\right)\sin\frac{2\pi}{n^2}+\dots
+\left(1+\frac{n-1}n\right)\sin\frac{(n-1)\pi}{n^2}\right].

Задача 2228

lim⁡n→∞sin⁡πn⋅∑k=1n12+cos⁡kπn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin\frac\pi n\cdot\sum_{k=1}^n\frac1{2+\cos\frac{k\pi}n}.

Задача 2229

lim⁡n→∞∑k=1n(nx+k)(nx+k+1)n2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt{(nx+k)(nx+k+1)}}{n^2} (x>0)(x>0).

Задача 2230

lim⁡n→∞(21/nn+1+22/nn+12+⋯+2n/nn+1n)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{1/n}}{n+1}+\frac{2^{2/n}}{n+\frac12}+\dots+\frac{2^{n/n}}{n+\frac1n}\right).

Задача 2231

Найти:ddx∫absin⁡t2 dt,dda∫absin⁡t2 dt,ddb∫absin⁡t2 dt.\frac d{dx}\int_a^b\sin t^2\,dt,\qquad
\frac d{da}\int_a^b\sin t^2\,dt,\qquad
\frac d{db}\int_a^b\sin t^2\,dt.

Задача 2232

Найти:а) ddx∫0x21+t2 dt;б) ddx∫x2x3dt1+t4;в) ddx∫sin⁡xcos⁡xcos⁡(πt2) dt.\text{а) }\frac d{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^2}\,dt;\qquad
\text{б) }\frac d{dx}\int_{x^2}^{x^3}\frac{dt}{\sqrt{1+t^4}};\qquad
\text{в) }\frac d{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)\,dt.

Задача 2233

Найти:а) lim⁡x→0∫0xcos⁡t2 dtx;б) lim⁡x→+∞∫0x(arctg⁡t)2 dtx2+1;\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\cos t^2\,dt}{x};\qquad
\text{б) }\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x(\arctg t)^2\,dt}{\sqrt{x^2+1}};в) lim⁡x→+∞(∫0xet2 dt)2∫0xe2t2 dt;г) lim⁡n→∞∫01f(nx) dx,\text{в) }\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\int_0^xe^{t^2}\,dt\right)^2}{\int_0^xe^{2t^2}\,dt};\qquad
\text{г) }\lim_{n\to\infty}\int_0^1f(nx)\,dx,если f∈C[0,+∞)f\in C[0,+\infty) и f(x)→Af(x)\to A при x→+∞x\to+\infty.

Задача 2234

Доказать, что∫0xet2 dt∼12xex2\int_0^xe^{t^2}\,dt\sim\frac1{2x}e^{x^2}при x→+∞x\to+\infty.

Задача 2235

Найтиlim⁡x→+0∫0sin⁡xtg⁡t dt∫0tg⁡xsin⁡t dt.\lim_{x\to+0}\frac{\int_0^{\sin x}\sqrt{\tg t}\,dt}{\int_0^{\tg x}\sqrt{\sin t}\,dt}.

Задача 2236

Пусть f(x)f(x) --- непрерывная положительная функция. Доказать, что функцияφ(x)=∫0xtf(t) dt∫0xf(t) dt\varphi(x)=\frac{\int_0^xtf(t)\,dt}{\int_0^xf(t)\,dt}возрастает при x≥0x\ge0.

Задача 2237

Найти:

а) ∫02f(x) dx\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx, если f(x)={x2при 0≤x≤1;2−xпри 1<x≤2;\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2&\text{при }0\le x\le1;\\2-x&\text{при }1<x\le2;\end{cases}

б) ∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx, если f(x)={xпри 0≤x≤t;t⋅1−x1−tпри t<x≤1.\displaystyle f(x)=\begin{cases}x&\text{при }0\le x\le t;\\t\cdot\dfrac{1-x}{1-t}&\text{при }t<x\le1.\end{cases}
Применяя формулу интегрирования по частям, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2239

∫0ln⁡2xe−x dx\displaystyle\int_0^{\ln2}xe^{-x}\,dx.

Задача 2240

∫0πxsin⁡x dx\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx.
Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2254

Доказать, что если f(x)f(x) непрерывна на [a,b][a,b], то∫abf(x) dx=(b−a)∫01f(a+(b−a)x) dx.\int_a^bf(x)\,dx=(b-a)\int_0^1f\bigl(a+(b-a)x\bigr)\,dx.

Задача 2255

Доказать равенство∫0ax3f(x2) dx=12∫0a2xf(x) dx(a>0).\int_0^ax^3f(x^2)\,dx=\frac12\int_0^{a^2}xf(x)\,dx\quad(a>0).

Задача 2256

Пусть f(x)f(x) --- непрерывная функция на сегменте [A,B]⊃[a,b][A,B]\supset[a,b]. Найти ddx∫abf(x+y) dy\displaystyle\frac d{dx}\int_a^bf(x+y)\,dy при [a+x,b+x]⊂[A,B][a+x,b+x]\subset[A,B].
Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2257

Доказать, что если f(x)f(x) непрерывна на [0,1][0,1], тоа) ∫0π/2f(sin⁡x) dx=∫0π/2f(cos⁡x) dx;\text{а) }\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\,dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)\,dx;б) ∫0πxf(sin⁡x) dx=π2∫0πf(sin⁡x) dx.\text{б) }\int_0^\pi xf(\sin x)\,dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,dx.

Задача 2258

Доказать, что для непрерывной на [−l,l][-l,l] функции f(x)f(x) имеем:1) ∫−llf(x) dx=2∫0lf(x) dx,\text{1) }\int_{-l}^lf(x)\,dx=2\int_0^lf(x)\,dx,если функция f(x)f(x) чётная, и2) ∫−llf(x) dx=0,\text{2) }\int_{-l}^lf(x)\,dx=0,если функция f(x)f(x) нечётная. Дать геометрическую интерпретацию этих фактов.

Задача 2259

Доказать, что одна из первообразных чётной функции есть функция нечётная, а всякая первообразная нечётной функции есть функция чётная.

Задача 2260

Вычислить интеграл∫1/22(1+x−1x)ex+1/x dx,\int_{1/2}^2\left(1+x-\frac1x\right)e^{x+1/x}\,dx,введя новую переменную t=x+1xt=x+\dfrac1x.

Задача 2261

В интеграле∫02πf(x)cos⁡x dx\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\,dxвыполнить замену переменного sin⁡x=t\sin x=t.

Задача 2262

Вычислить интеграл∫e−2πn1∣cos⁡(ln⁡1x)∣dxx,\int_{e^{-2\pi n}}^1\left|\cos\left(\ln\frac1x\right)\right|\frac{dx}{x},где nn --- натуральное число.

Задача 2263

Найти интеграл∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx.\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,dx.

Задача 2264

Найти интеграл∫−13f′(x)1+f2(x) dx,\int_{-1}^3\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\,dx,еслиf(x)=(x+1)2(x−1)x3(x−2).f(x)=\frac{(x+1)^2(x-1)}{x^3(x-2)}.

Задача 2265

Доказать, что если f(x)f(x) --- непрерывная периодическая функция, определённая при −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty и имеющая период TT, то∫aa+Tf(x) dx=∫0Tf(x) dx,\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^Tf(x)\,dx,где aa --- любое число.

Задача 2266

Доказать, что при nn нечётном функцииF(x)=∫0xsin⁡nt dtиG(x)=∫0xcos⁡nt dtF(x)=\int_0^x\sin^nt\,dt\quad\text{и}\quad G(x)=\int_0^x\cos^nt\,dtпериодические с периодом 2π2\pi; а при nn чётном каждая из этих функций есть сумма линейной и периодической функций.

Задача 2267

Доказать, что функцияF(x)=∫x0xf(t) dt,F(x)=\int_{x_0}^xf(t)\,dt,где f(x)f(x) --- непрерывная периодическая функция с периодом TT, в общем случае есть сумма линейной функции и периодической функции периода TT.
Вычислить интегралы:

Задача 2268

∫01x(2−x2)12 dx\displaystyle\int_0^1x(2-x^2)^{12}\,dx.

Задача 2269

∫−11x dxx2+x+1\displaystyle\int_{-1}^1\frac{x\,dx}{x^2+x+1}.

Задача 2270

∫1e(xln⁡x)2 dx\displaystyle\int_1^e(x\ln x)^2\,dx.

Задача 2271

∫19x1−x3 dx\displaystyle\int_1^9x\sqrt[3]{1-x}\,dx.

Задача 2272

∫−2−1dxxx2−1\displaystyle\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}.

Задача 2273

∫01x151+3x8 dx\displaystyle\int_0^1x^{15}\sqrt{1+3x^8}\,dx.

Задача 2274

∫03arcsin⁡x1+x dx\displaystyle\int_0^3\arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}\,dx.

Задача 2275

∫02πdx(2+cos⁡x)(3+cos⁡x)\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}.

Задача 2276

∫02πdxsin⁡4x+cos⁡4x\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dx}{\sin^4x+\cos^4x}.

Задача 2277

∫0π/2sin⁡xsin⁡2xsin⁡3x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\sin2x\sin3x\,dx.

Задача 2278

∫0π(xsin⁡x)2 dx\displaystyle\int_0^\pi(x\sin x)^2\,dx.

Задача 2279

∫0πexcos⁡2x dx\displaystyle\int_0^\pi e^x\cos^2x\,dx.

Задача 2280

∫0ln⁡2sh⁡4x dx\displaystyle\int_0^{\ln2}\sh^4x\,dx.
С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра nn, принимающего целые положительные значения:

Задача 2281

In=∫0π/2sin⁡nx dx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx.

Задача 2282

In=∫0π/2cos⁡nx dx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx.

Задачи 1–50 из 82