Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2269

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_{-1}^1\frac{x\,dx}{x^2+x+1}

Ответ:

\dfrac12\ln3-\dfrac\pi{2\sqrt3}

Решение

Знаменатель положителен при всех

x

, поскольку

x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0

Его производная равна

2x+1

. Чтобы получить дробь вида «производная знаменателя, делённая на знаменатель», представим числитель как

x=\dfrac12(2x+1)-\dfrac12

По линейности интеграла

\begin{gathered} I=\dfrac12\int_{-1}^1\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx -\dfrac12J\\ J=\int_{-1}^1\dfrac{dx}{x^2+x+1}\end{gathered}

В первом слагаемом используем правило для положительного

q(x)=x^2+x+1

\dfrac d{dx}\ln q(x)=\dfrac{q'(x)}{q(x)}

Получаем

I=\dfrac12\bigl[\ln(x^2+x+1)\bigr]_{-1}^1-\dfrac12J

Логарифмическое слагаемое равно

\frac12\ln3

. Модуль не нужен: аргумент логарифма положителен.

Для

J

используем выделенный квадрат и замену

\begin{gathered} t=\dfrac{2x+1}{\sqrt3}, \qquad x=\dfrac{\sqrt3t-1}{2}, \qquad dx=\dfrac{\sqrt3}{2}\,dt\\ x^2+x+1=\dfrac34(1+t^2)\end{gathered}

Пределы

x=-1,1

превращаются в

t=-\frac1{\sqrt3},\sqrt3

. Поэтому

\begin{aligned} J&=\dfrac2{\sqrt3}\int_{-\frac1{\sqrt3}}^{\sqrt3}\dfrac{dt}{1+t^2}=\\ &=\dfrac2{\sqrt3}\left(\dfrac\pi3+\dfrac\pi6\right) =\dfrac\pi{\sqrt3}\end{aligned}

Подставляя найденное значение, получаем

I=\dfrac12\ln3-\dfrac\pi{2\sqrt3}