Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2258

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2258

Доказать, что для непрерывной на [−l,l][-l,l] функции f(x)f(x) имеем:1) ∫−llf(x) dx=2∫0lf(x) dx,\text{1) }\int_{-l}^lf(x)\,dx=2\int_0^lf(x)\,dx,если функция f(x)f(x) чётная, и2) ∫−llf(x) dx=0,\text{2) }\int_{-l}^lf(x)\,dx=0,если функция f(x)f(x) нечётная. Дать геометрическую интерпретацию этих фактов.
Доказано:∫−llf(x) dx={2∫0lf(x) dx,f чётная0,f нечётная,l⩾0\int_{-l}^l f(x)\,dx
=\begin{cases}
2\displaystyle\int_0^l f(x)\,dx,&f\text{ чётная}\\
0,&f\text{ нечётная}
\end{cases},
\qquad l\geqslant0У чётной функции вклады двух половин совпадают, у нечётной взаимно сокращаются.

Доказательство

Для l>0l>0 разобьём отрезок в нуле:I=∫−l0f(x) dx+∫0lf(x) dxI=\int_{-l}^0f(x)\,dx+\int_0^l f(x)\,dxВ первом интеграле используем заменуt=−x,x=−t,dx=−dtt=-x,
\qquad x=-t,
\qquad dx=-dtПределы −l,0-l,0 превращаются в l,0l,0. Следовательно,∫−l0f(x) dx=−∫l0f(−t) dt==∫0lf(−t) dt\begin{aligned}
\int_{-l}^0f(x)\,dx
&=-\int_l^0f(-t)\,dt=\\
&=\int_0^l f(-t)\,dt
\end{aligned}После переобозначения переменной во втором интеграле имеем общую формулуI=∫0l(f(−t)+f(t)) dtI=\int_0^l\bigl(f(-t)+f(t)\bigr)\,dtЕсли ff чётная, то f(−t)=f(t)f(-t)=f(t), и два слагаемых совпадают. Если ff нечётная, то f(−t)=−f(t)f(-t)=-f(t), и они взаимно уничтожаются. ПоэтомуI={2∫0lf(t) dt,f чётная0,f нечётнаяI=\begin{cases}
2\displaystyle\int_0^l f(t)\,dt,&f\text{ чётная}\\
0,&f\text{ нечётная}
\end{cases}Геометрически определённый интеграл является ориентированной площадью: участки над осью OXOX учитываются со знаком плюс, а под осью со знаком минус.

У чётной функции график симметричен относительно OYOY, поэтому ориентированные площади слева и справа одинаковы и складываются.

У нечётной функции график симметричен относительно начала координат: соответствующие участки имеют одинаковые площади и противоположные знаки, поэтому их вклады сокращаются. Нулевой интеграл нечётной функции не означает, что обычная площадь всех участков равна нулю.

При l=0l=0 оба утверждения также верны: все интегралы имеют одинаковые пределы и равны нулю.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2258 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика