Раздел IV. Определённый интеграл — § 2

Демидович § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Условия, ответы и подробные решения задач 2219–2315

Задачи 2219–2315

82 из 82 с разбором

С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра nn, принимающего целые положительные значения:

Задача 2283

In=∫0π/4tg⁡2nx dx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/4}\tg^{2n}x\,dx.

Задача 2284

In=∫01(1−x2)n dx\displaystyle I_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx.

Задача 2285

In=∫01xn dx1−x2\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n\,dx}{\sqrt{1-x^2}}.

Задача 2286

In=∫01xm(ln⁡x)n dx\displaystyle I_n=\int_0^1x^m(\ln x)^n\,dx.

Задача 2287

In=∫0π/4(sin⁡x−cos⁡xsin⁡x+cos⁡x)2n+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/4}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2n+1}\,dx.

Задача 2288

Пользуясь формулой Эйлераeix=cos⁡x+isin⁡x,e^{ix}=\cos x+i\sin x,показать, что∫02πeinxe−imx dx={0,если m≠n,2π,если m=n\int_0^{2\pi}e^{inx}e^{-imx}\,dx=\begin{cases}0,&\text{если }m\ne n,\\2\pi,&\text{если }m=n\end{cases}(nn и mm --- целые).

Задача 2289

Показать, что∫abe(α+iβ)x dx=eb(α+iβ)−ea(α+iβ)α+iβ\int_a^be^{(\alpha+i\beta)x}\,dx=\frac{e^{b(\alpha+i\beta)}-e^{a(\alpha+i\beta)}}{\alpha+i\beta}(α\alpha и β\beta --- постоянные).
Пользуясь формулами Эйлера:

Задача 2290

∫0π/2sin⁡2mxcos⁡2nx dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^{2m}x\cos^{2n}x\,dx.

Задача 2291

∫0πsin⁡nxsin⁡x dx\displaystyle\int_0^\pi\frac{\sin nx}{\sin x}\,dx.

Задача 2293

∫0πcos⁡nxcos⁡nx dx\displaystyle\int_0^\pi\cos^nx\cos nx\,dx.

Задача 2294

∫0πsin⁡nxsin⁡nx dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^nx\sin nx\,dx.
Найти интегралы (nn --- натуральное число):

Задача 2295

∫0πsin⁡n−1xcos⁡(n+1)x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^{n-1}x\cos(n+1)x\,dx.

Задача 2296

∫0πcos⁡n−1xsin⁡(n+1)x dx\displaystyle\int_0^\pi\cos^{n-1}x\sin(n+1)x\,dx.

Задача 2297

∫02πe−axcos⁡2nx dx\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{-ax}\cos^{2n}x\,dx.

Задача 2298

∫0π/2ln⁡cos⁡x⋅cos⁡2nx dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln\cos x\cdot\cos2nx\,dx.

Задача 2299

Применяя многократное интегрирование по частям, вычислить интеграл Эйлера:B(m,n)=∫01xm−1(1−x)n−1 dx,B(m,n)=\int_0^1x^{m-1}(1-x)^{n-1}\,dx,где mm и nn --- целые положительные числа.

Задача 2300

Многочлен Лежандра Pn(x)P_n(x) определяется следующей формулой:Pn(x)=12nn!dndxn[(x2−1)n](n=0,1,2,… ).P_n(x)=\frac1{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]\quad(n=0,1,2,\dots).Доказать, что∫−11Pm(x)Pn(x) dx={0,если m≠n,22n+1,если m=n.\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)\,dx=\begin{cases}0,&\text{если }m\ne n,\\\dfrac2{2n+1},&\text{если }m=n.\end{cases}

Задача 2301

Пусть функция f(x)f(x) собственно интегрируема на [a,b][a,b] и F(x)F(x) --- функция такая, что F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) всюду в [a,b][a,b], за исключением, быть может, конечного числа внутренних точек cic_i (i=1,…,p)(i=1,\dots,p) и точек aa и bb, где функция F(x)F(x) терпит разрыв 1-го рода («обобщённая первообразная»). Доказать, что∫abf(x) dx=F(b−0)−F(a+0)−∑i=1p[F(ci+0)−F(ci−0)].\int_a^bf(x)\,dx=F(b-0)-F(a+0)-\sum_{i=1}^p[F(c_i+0)-F(c_i-0)].

Задача 2302

Пусть функция f(x)f(x) собственно интегрируема на сегменте [a,b][a,b] иF(x)=C+∫axf(ξ) dξF(x)=C+\int_a^xf(\xi)\,d\xi--- её неопределённый интеграл.

Доказать, что функция F(x)F(x) непрерывна и во всех точках непрерывности функции f(x)f(x) имеет место равенствоF′(x)=f(x).F'(x)=f(x).Что можно сказать о производной функции F(x)F(x) в точках разрыва функции f(x)f(x)?

Рассмотреть примеры:

а) f(1n)=1f\left(\dfrac1n\right)=1 (n=±1,±2,… )(n=\pm1,\pm2,\dots) и f(x)=0f(x)=0 при x≠1nx\ne\dfrac1n;

б) f(x)=sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn}x.
Найти неопределённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2303

∫sgn⁡x dx\displaystyle\int\operatorname{sgn}x\,dx.

Задача 2304

∫sgn⁡(sin⁡x) dx\displaystyle\int\operatorname{sgn}(\sin x)\,dx.

Задача 2305

∫[x] dx\displaystyle\int[x]\,dx (x≥0)(x\ge0).

Задача 2306

∫x[x] dx\displaystyle\int x[x]\,dx (x≥0)(x\ge0).

Задача 2307

∫(−1)[x] dx\displaystyle\int(-1)^{[x]}\,dx.

Задача 2308

∫0xf(t) dt\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt, где f(x)={1,если ∣x∣<l,0,если ∣x∣>l.\displaystyle f(x)=\begin{cases}1,&\text{если }|x|\lt l,\\0,&\text{если }|x|>l.\end{cases}
Вычислить определённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2309

∫03sgn⁡(x−x3) dx\displaystyle\int_0^3\operatorname{sgn}(x-x^3)\,dx.

Задача 2310

∫02[ex] dx\displaystyle\int_0^2[e^x]\,dx.

Задача 2311

∫06[x]sin⁡πx6 dx\displaystyle\int_0^6[x]\sin\frac{\pi x}6\,dx.

Задача 2312

∫0πxsgn⁡(cos⁡x) dx\displaystyle\int_0^\pi x\operatorname{sgn}(\cos x)\,dx.

Задача 2313

∫1n+1ln⁡[x] dx\displaystyle\int_1^{n+1}\ln[x]\,dx, где nn --- натуральное число.

Задача 2314

∫01sgn⁡[sin⁡(ln⁡x)] dx\displaystyle\int_0^1\operatorname{sgn}[\sin(\ln x)]\,dx.

Задача 2315

Найти ∫E∣cos⁡x∣sin⁡x dx\displaystyle\int_E|\cos x|\sqrt{\sin x}\,dx, где EE --- множество тех значений сегмента [0,4π][0,4\pi], для которых подынтегральное выражение имеет смысл.

Задачи 51–82 из 82