Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2255

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2255

Доказать равенство∫0ax3f(x2) dx=12∫0a2xf(x) dx(a>0).\int_0^ax^3f(x^2)\,dx=\frac12\int_0^{a^2}xf(x)\,dx\quad(a>0).
Доказано:∫0ax3f(x2) dx=12∫0a2xf(x) dx,a>0\int_0^a x^3 f(x^2)\,dx
=\dfrac12\int_0^{a^2}x f(x)\,dx,
\qquad a>0

Доказательство

Новая переменная должна совпасть с аргументом функции ff. Положимt=x2,x=t,dt=2x dxt=x^2,
\qquad x=\sqrt t,
\qquad dt=2x\,dxПоскольку a>0a>0, при изменении xx от 00 до aa новая переменная меняется следующим образом:x=0⟹t=0,x=a⟹t=a2x=0\quad\Longrightarrow\quad t=0,
\qquad x=a\quad\Longrightarrow\quad t=a^2Представим множитель x3 dxx^3\,dx как x2⋅x dxx^2\cdot x\,dx:x3 dx=x2⋅x dx=t⋅12 dtx^3\,dx=x^2\cdot x\,dx=t\cdot\dfrac12\,dtПоэтому, при существовании указанных интегралов,∫0ax3f(x2) dx=12∫0a2tf(t) dt\int_0^a x^3 f(x^2)\,dx
=\dfrac12\int_0^{a^2}t f(t)\,dtБукву tt в правой части можно переобозначить через xx: переменная интегрирования не является внешним параметром и её имя не меняет значение интеграла.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2255 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика