Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2263

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Найти интеграл

\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,dx.

Ответ:

\dfrac{\pi^2}{4}

Решение

Обозначим искомый интеграл через

I

, а дробь без множителя

x

через

w(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos^2x}

Знаменатель положителен. Используем отражение относительно середины отрезка:

t=\pi-x, \qquad x=\pi-t, \qquad dx=-dt

Пределы

x=0,\pi

превращаются в

t=\pi,0

. При этом

w(\pi-t)=w(t)

: синус сохраняется, косинус меняет знак, но его квадрат остаётся прежним. Знак минус из дифференциала убираем перестановкой пределов. Поэтому

I=\int_0^\pi(\pi-t)w(t)\,dt

Переобозначим

t

через

x

и сложим с исходным выражением

I=\int_0^\pi xw(x)\,dx

При сложении объединяем интегралы с одинаковыми пределами; коэффициенты

x

\pi-x

в сумме дают

\pi

\begin{aligned} 2I&=\int_0^\pi\bigl(x+(\pi-x)\bigr)w(x)\,dx=\pi\int_0^\pi w(x)\,dx\end{aligned}

В оставшемся интеграле косинус строго убывает на

[0,\pi]

, поэтому замена имеет единственную обратную ветвь:

u=\cos x, \qquad x=\arccos u, \qquad du=-\sin x\,dx

Пределы

0,\pi

превращаются в

1,-1

, а множитель

\sin x\,dx

заменяется на

-du

\begin{aligned} \int_0^\pi w(x)\,dx &=-\int_1^{-1}\dfrac{du}{1+u^2}=\\ &=\bigl[\arctg u\bigr]_{-1}^1=\dfrac\pi2\end{aligned}

Следовательно,

I=\dfrac\pi2\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{\pi^2}{4}