Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2225

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n

Ответ:

\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[n]{n!}}n=\dfrac1e

Решение

Положим

A_n=\dfrac{\sqrt[n]{n!}}n>0

Тогда

\ln A_n=\dfrac{\ln(n!)}n-\ln n

Функция

\ln x

возрастает. Поэтому на

[k;k+1]

имеем

\ln k\leqslant\ln x\leqslant\ln(k+1)

, и

\ln k\leqslant\int_k^{k+1}\ln x\,dx\leqslant\ln(k+1)

Суммируем при

k=1,\ldots,n-1

. Сумма слева равна

\ln(n!)-\ln n

, а справа —

\ln(n!)

, поэтому

\ln(n!)-\ln n\leqslant\int_1^n\ln x\,dx\leqslant\ln(n!)

Перегруппировывая это неравенство, получаем

\int_1^n\ln x\,dx \leqslant\ln(n!) \leqslant\int_1^n\ln x\,dx+\ln n

Вычислим интеграл:

\int_1^n\ln x\,dx =\bigl(x\ln x-x\bigr)\bigg|_1^n =n\ln n-n+1

После деления полученного двойного неравенства на

n

и вычитания

\ln n

имеем

-1+\dfrac1n \leqslant\ln A_n \leqslant-1+\dfrac{1+\ln n}{n}

Обе крайние части стремятся к

-1

. Следовательно,

\ln A_n\to-1

, а после потенцирования

A_n\to e^{-1}