Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2237

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

Найти:

а)

\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx

, если

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2&\text{при }0\le x\le1;\\2-x&\text{при }1<x\le2;\end{cases}

б)

\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx

, если

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x&\text{при }0\le x\le t;\\t\cdot\dfrac{1-x}{1-t}&\text{при }t<x\le1.\end{cases}

Ответ:

а)\quad \dfrac56, \qquadб)\quad \dfrac t2, \quad 0\le t<1

Решение

а) Разобьём интеграл в точке изменения формулы функции:

\begin{aligned} \int_0^2f(x)\,dx &=\int_0^1x^2\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=\\ &=\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^1 +\left.\left(2x-\dfrac{x^2}{2}\right)\right|_1^2=\\ &=\dfrac13+\dfrac12=\dfrac56\end{aligned}

б) Из расположения промежутков и знаменателя

1-t

следует, что заданная формула рассматривается при

0\le t<1

. Разобьём интеграл в точке

x=t

\begin{aligned} \int_0^1f(x)\,dx &=\int_0^t x\,dx +\int_t^1t\dfrac{1-x}{1-t}\,dx=\\ &=\dfrac{t^2}{2} +\dfrac{t}{1-t}\left.\left(-\dfrac{(1-x)^2}{2}\right)\right|_t^1=\\ &=\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t(1-t)}{2}=\dfrac t2\end{aligned}