Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2282

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра nn, принимающего целые положительные значения:

Задача 2282

In=∫0π/2cos⁡nx dx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx.
Ответ:In={(n−1)!!n!! π2,n чётное(n−1)!!n!!,n нечётное,n∈N,0!!=1I_n=\begin{cases}
\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\,\dfrac\pi2,&n\text{ чётное}\\[4pt]
\dfrac{(n-1)!!}{n!!},&n\text{ нечётное}
\end{cases},
\qquad n\in\mathbb N,
\quad 0!!=1

Решение

Выведем формулу понижения непосредственно для степени косинуса. При n⩾2n\geqslant2 выбираем в интегрировании по частямu=cos⁡n−1x,dv=cos⁡x dxdu=−(n−1)cos⁡n−2xsin⁡x dx,v=sin⁡x\begin{aligned}
u&=\cos^{n-1}x,&dv&=\cos x\,dx\\[4pt]
du&=-(n-1)\cos^{n-2}x\sin x\,dx,&v&=\sin x
\end{aligned}Граничное произведение cos⁡n−1xsin⁡x\cos^{n-1}x\sin x исчезает: при x=0x=0 синус равен нулю, а при x=π2x=\frac\pi2 косинус равен нулю. Следовательно,In=(n−1)∫0π2cos⁡n−2xsin⁡2x dx==(n−1)∫0π2(cos⁡n−2x−cos⁡nx)dx==(n−1)(In−2−In)\begin{aligned}
I_n&=(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\cos^{n-2}x\sin^2x\,dx=\\
&=(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\left(\cos^{n-2}x-\cos^nx\right)dx=\\
&=(n-1)(I_{n-2}-I_n)
\end{aligned}Здесь sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2x=1-\cos^2x. ПоэтомуIn=n−1nIn−2,n⩾2I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2},
\qquad n\geqslant2Начальные значения, включая вспомогательное I0I_0, равныI0=π2,I1=[sin⁡x]0π2=1I_0=\dfrac\pi2,
\qquad I_1=\bigl[\sin x\bigr]_0^{\frac\pi2}=1Каждый шаг уменьшает показатель на 22. Для чётной степени цепочка заканчивается на I0I_0, для нечётной — на I1I_1. Покажем возникающие произведения при целом r⩾1r\geqslant1:I2r=(∏j=1r2j−12j)I0=(∏j=1r2j−12j)π2I_{2r}=\left(\prod_{j=1}^{r}\dfrac{2j-1}{2j}\right)I_0
=\left(\prod_{j=1}^{r}\dfrac{2j-1}{2j}\right)\dfrac\pi2I2r+1=(∏j=1r2j2j+1)I1=∏j=1r2j2j+1I_{2r+1}=\left(\prod_{j=1}^{r}\dfrac{2j}{2j+1}\right)I_1
=\prod_{j=1}^{r}\dfrac{2j}{2j+1}Знак ∏\prod означает произведение множителей при j=1,2,…,rj=1,2,\ldots,r. Например, при r=1r=1 получаемI2=12I0=π4I3=23I1=23\begin{aligned}
I_2&=\dfrac12I_0=\dfrac\pi4\\
I_3&=\dfrac23I_1=\dfrac23
\end{aligned}Случай n=1n=1 уже вычислен отдельно. В числителях и знаменателях произведений стоят числа одной чётности, поэтому удобно ввести двойной факториал:(2r)!!=2⋅4⋯2r,(2r−1)!!=1⋅3⋯(2r−1)0!!=1\begin{gathered}
(2r)!!=2\cdot4\cdots2r,\qquad
(2r-1)!!=1\cdot3\cdots(2r-1)\\
0!!=1
\end{gathered}Отношение произведений равно (n−1)!!n!!\frac{(n-1)!!}{n!!}; множитель π2\frac\pi2 остаётся только при чётном nn. Для проверки положимt=π2−x,x=π2−t,dx=−dtt=\dfrac\pi2-x,\qquad x=\dfrac\pi2-t,\qquad dx=-dtПределы меняются с 0,π20,\frac\pi2 на π2,0\frac\pi2,0, а cos⁡x=sin⁡t\cos x=\sin t. Минус в дифференциале возвращает исходный порядок пределов:∫0π2cos⁡nx dx=−∫π20sin⁡nt dt=∫0π2sin⁡nt dt\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\,dx
=-\int_{\frac\pi2}^0\sin^nt\,dt
=\int_0^{\frac\pi2}\sin^nt\,dtТаким образом, результаты для синуса и косинуса совпадают.
Демидович № 2282 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика