Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2262

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2262

Вычислить интеграл∫e−2πn1∣cos⁡(ln⁡1x)∣dxx,\int_{e^{-2\pi n}}^1\left|\cos\left(\ln\frac1x\right)\right|\frac{dx}{x},где nn --- натуральное число.
Ответ:4n,n∈N4n,\qquad n\in\mathbb N

Решение

Положим t=ln⁡1x=−ln⁡xt=\ln\frac1x=-\ln x. Тогда dt=−dxxdt=-\frac{dx}{x}. Нижнему пределу x=e−2πnx=e^{-2\pi n} соответствует t=2πnt=2\pi n, верхнему x=1x=1 соответствует t=0t=0. ПоэтомуIn=∫02πn∣cos⁡t∣ dtI_n=\int_0^{2\pi n}|\cos t|\,dtФункция ∣cos⁡t∣|\cos t| имеет период π\pi. Интеграл по одному периоду равен∫0π∣cos⁡t∣ dt=∫0π/2cos⁡t dt−∫π/2πcos⁡t dt=1+1=2\int_0^\pi|\cos t|\,dt=\int_0^{\pi/2}\cos t\,dt-\int_{\pi/2}^\pi\cos t\,dt=1+1=2В промежутке [0,2πn][0,2\pi n] содержится 2n2n полных периодов. Следовательно,In=2n⋅2=4nI_n=2n\cdot2=4n
Демидович № 2262 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика