Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2257

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Доказать, что если

f(x)

непрерывна на

[0,1]

, то

\text{а) }\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\,dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)\,dx;

\text{б) }\int_0^\pi xf(\sin x)\,dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,dx.

Доказано:

а)\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx =\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)\,dx

б)\quad\int_0^\pi x f(\sin x)\,dx =\dfrac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,dx

Оба равенства доказаны.

Доказательство

а) Используем замену, которая меняет синус на косинус:

t=\dfrac\pi2-x, \qquad x=\dfrac\pi2-t, \qquad dx=-dt, \qquad \sin x=\cos t

При

x=0

получаем

t=\frac\pi2

, а при

x=\frac\pi2

получаем

t=0

. Поэтому

\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx &=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(\cos t)\,dt=\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos t)\,dt\end{aligned}

Переобозначая переменную интегрирования, получаем первое равенство.

б) Обозначим исходный интеграл через

I

и положим

t=\pi-x, \qquad x=\pi-t, \qquad dx=-dt

Пределы меняются с

0,\pi

на

\pi,0

, а синус сохраняется:

\sin(\pi-t)=\sin t

При подстановке сначала сохраняем полученные пределы

\pi

0

, а затем меняем их порядок:

\begin{aligned} I&=-\int_\pi^0(\pi-t)f(\sin t)\,dt=\\ &=\int_0^\pi(\pi-t)f(\sin t)\,dt\end{aligned}

Имена переменных интегрирования несущественны. Переобозначим

t

через

x

и сложим полученную формулу с исходным выражением для

I

\begin{aligned} 2I&=\int_0^\pi\bigl(x+\pi-x\bigr)f(\sin x)\,dx=\\ &=\pi\int_0^\pi f(\sin x)\,dx\end{aligned}

Деление на

2

даёт второе равенство.

Непрерывность

f

на

[0,1]

достаточна: значения синуса и косинуса, которые подставляются в

f

, принадлежат этому отрезку.

Что и требовалось доказать