Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2224

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью определённых интегралов найти пределы следующих сумм:

Задача 2224

lim⁡n→∞1n(1+1n+1+2n+⋯+1+nn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1+\frac2n}+\dots+\sqrt{1+\frac nn}\right).
Ответ:lim⁡n→∞1n∑k=1n1+kn=23(22−1)\lim_{n\to\infty}\dfrac1n
\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\dfrac kn}
=\dfrac23(2\sqrt2-1)

Решение

Введём непрерывную на [0,1][0,1] функцию f(x)=1+xf(x)=\sqrt{1+x}. Разобьём этот отрезок на nn равных частей длины Δx=1n\Delta x=\frac1n и в каждой части возьмём правый конец xk=knx_k=\frac kn, где k=1,…,nk=1,\ldots,n. Тогда исходная сумма имеет видSn=1n∑k=1n1+kn=∑k=1nf(xk)ΔxS_n=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\dfrac kn}
=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta xЭто правая интегральная сумма для ff на [0,1][0,1]. Непрерывность ff и стремление длины частей к нулю позволяют перейти к определённому интегралу:lim⁡n→∞Sn=∫011+x dx\lim_{n\to\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+x}\,dxЧтобы вычислить интеграл, положим t=1+xt=1+x, откуда x=t−1x=t-1 и dx=dtdx=dt. Пределы x=0,1x=0,1 переходят в t=1,2t=1,2. По формуле интегрирования степени получаем∫011+x dx=∫12t12 dt=23t32∣12==23(232−1)=23(22−1)\begin{aligned}
\int_0^1\sqrt{1+x}\,dx
&=\int_1^2t^{\frac12}\,dt
=\left.\dfrac23t^{\frac32}\right|_1^2=\\
&=\dfrac23\left(2^{\frac32}-1\right)
=\dfrac23(2\sqrt2-1)
\end{aligned}Здесь 232=222^{\frac32}=2\sqrt2; множитель 23\frac23 появляется при делении на новый показатель 32\frac32.
Демидович № 2224 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика