Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2219

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью определённых интегралов найти пределы следующих сумм:

Задача 2219

lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\dots+\frac{n-1}{n^2}\right).
Ответ:12\dfrac12

Решение

Перепишем сумму в виде1n2+2n2+⋯+n−1n2=1n∑k=1n−1kn\dfrac1{n^2}+\dfrac2{n^2}+\cdots+\dfrac{n-1}{n^2}
=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{n}Добавим и вычтем отсутствующий член при k=nk=n:1n∑k=1n−1kn=1n∑k=1nkn−1n\begin{aligned}
\dfrac1n\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{n}
&=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}
-\dfrac1n
\end{aligned}При равномерном разбиении [0;1][0;1] длина каждого отрезка и его правый конец равныΔx=1n,xk=kn,k=1,…,n\Delta x=\dfrac1n,
\qquad x_k=\dfrac kn,
\qquad k=1,\ldots,nПервая сумма в правой части является полной правой интегральной суммой для непрерывной функции f(x)=xf(x)=x на отрезке [0,1][0,1], а 1n→0\frac1n\to0. Поэтомуlim⁡n→∞1n∑k=1n−1kn=∫01x dx=12\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{n}
=\int_0^1x\,dx
=\dfrac12