Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2270

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_1^e(x\ln x)^2\,dx

Ответ:

\dfrac{5e^3-2}{27}

Решение

Для искомого интеграла

I

используем интегрирование по частям. Дифференцирование квадрата логарифма уменьшает его степень:

\begin{aligned} u&=(\ln x)^2,&\qquad dv&=x^2\,dx\\ du&=\dfrac{2\ln x}{x}\,dx,&v&=\dfrac{x^3}{3}\end{aligned}

При

x=1

логарифм равен нулю, а при

x=e

единице. Следовательно,

I=\dfrac{e^3}{3}-\dfrac23J, \qquad J=\int_1^e x^2\ln x\,dx

Оставшийся интеграл вычисляем по частям ещё раз, выбирая

\begin{aligned} u&=\ln x,&\qquad dv&=x^2\,dx\\ du&=\dfrac{dx}{x},&v&=\dfrac{x^3}{3}\end{aligned}

Тогда

\begin{aligned} J&=\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e-\dfrac13\int_1^e x^2\,dx=\\ &=\dfrac{e^3}{3}-\dfrac{e^3-1}{9} =\dfrac{2e^3+1}{9}\end{aligned}

Поэтому

I=\dfrac{e^3}{3}-\dfrac23\cdot\dfrac{2e^3+1}{9} =\dfrac{5e^3-2}{27}