Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2268

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_0^1x(2-x^2)^{12}\,dx

Ответ:

\dfrac{8191}{26}

Решение

Множитель

x\,dx

подходит для производной выражения

2-x^2

. Поэтому вводим

t=2-x^2, \qquad x=\sqrt{2-t}, \qquad dt=-2x\,dx

Новые пределы:

x=0\quad\Longrightarrow\quad t=2, \qquad x=1\quad\Longrightarrow\quad t=1

Подстановка и перестановка пределов дают

\begin{aligned} I&=-\dfrac12\int_2^1t^{12}\,dt =\dfrac12\int_1^2t^{12}\,dt=\\ &=\dfrac1{26}\bigl[t^{13}\bigr]_1^2 =\dfrac{2^{13}-1}{26}=\dfrac{8191}{26}\end{aligned}