Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2261

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2261

В интеграле∫02πf(x)cos⁡x dx\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\,dxвыполнить замену переменного sin⁡x=t\sin x=t.
Ответ:I=∫01f(arcsin⁡t) dt+∫1−1f(π−arcsin⁡t) dt+∫−10f(2π+arcsin⁡t) dt\begin{aligned}
I&=\int_0^1 f(\arcsin t)\,dt+\int_1^{-1} f(\pi-\arcsin t)\,dt
+\int_{-1}^0 f(2\pi+\arcsin t)\,dt
\end{aligned}

Решение

Замена t=sin⁡xt=\sin x не имеет одной обратной ветви на всём отрезке [0,2π][0,2\pi]. Разделим его на три промежутка монотонности синуса:0⩽x⩽π2:x=arcsin⁡t,t:0⟶1π2⩽x⩽3π2:x=π−arcsin⁡t,t:1⟶−13π2⩽x⩽2π:x=2π+arcsin⁡t,t:−1⟶0\begin{array}{lll}
0\leqslant x\leqslant\frac\pi2:
&x=\arcsin t,
&t:0\longrightarrow1\\
\frac\pi2\leqslant x\leqslant\frac{3\pi}{2}:
&x=\pi-\arcsin t,
&t:1\longrightarrow-1\\
\frac{3\pi}{2}\leqslant x\leqslant2\pi:
&x=2\pi+\arcsin t,
&t:-1\longrightarrow0
\end{array}Во всех строках используется главное значениеα=arcsin⁡t∈[−π2,π2]\alpha=\arcsin t\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]Две другие обратные ветви получены из тождествsin⁡(π−α)=sin⁡α,sin⁡(2π+α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,
\qquad \sin(2\pi+\alpha)=\sin\alphaУказанные формулы для xx принимают значения в нужных промежутках и дают sin⁡x=t\sin x=t. Дифференциал и подынтегральное выражение преобразуются так:dt=cos⁡x dx,f(x)cos⁡x dx=f(x(t)) dtdt=\cos x\,dx,
\qquad f(x)\cos x\,dx=f(x(t))\,dtТаким образом, делить на косинус не требуется. Обозначим исходный интеграл через II. Складывая результаты по трём промежуткам, получаемI=∫01f(arcsin⁡t) dt+∫1−1f(π−arcsin⁡t) dt+∫−10f(2π+arcsin⁡t) dt\begin{aligned}
I&=\int_0^1 f(\arcsin t)\,dt+\int_1^{-1} f(\pi-\arcsin t)\,dt
+\int_{-1}^0 f(2\pi+\arcsin t)\,dt
\end{aligned}Во втором интеграле пределы идут от 11 к −1-1, поскольку синус на средней ветви убывает.

Хотя sin⁡0=sin⁡2π=0\sin0=\sin2\pi=0, заменять весь интеграл одним интегралом от 00 до 00 нельзя: на разных ветвях одному tt соответствуют разные аргументы функции ff.
Демидович № 2261 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика