Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2232

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

Найти:

\text{а) }\frac d{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^2}\,dt;\qquad\text{б) }\frac d{dx}\int_{x^2}^{x^3}\frac{dt}{\sqrt{1+t^4}};\qquad\text{в) }\frac d{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)\,dt.

Ответ:

\begin{aligned}а)\quad &2x\sqrt{1+x^4}\\б)\quad &\dfrac{3x^2}{\sqrt{1+x^{12}}} -\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^8}}\\в)\quad &(\sin x-\cos x) \cos\left(\pi\sin^2x\right)\end{aligned}

Решение

Используем формулу

\dfrac d{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)

Чтобы объяснить оба множителя и знак минус, возьмём первообразную

F

, для которой

F'=f

. По формуле Ньютона--Лейбница

\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt=F(v(x))-F(u(x))

Дифференцирование сложных функций даёт

F'(v(x))v'(x)

F'(u(x))u'(x)

; после подстановки

F'=f

получается указанная формула.

а) Здесь

u(x)=0

v(x)=x^2

f(t)=\sqrt{1+t^2}

. Поэтому

\begin{aligned} \dfrac d{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^2}\,dt &=\sqrt{1+(x^2)^2}\cdot2x=\\ &=2x\sqrt{1+x^4}\end{aligned}

б) Здесь

u(x)=x^2

v(x)=x^3

f(t)=\frac1{\sqrt{1+t^4}}

. Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac d{dx}\int_{x^2}^{x^3}\dfrac{dt}{\sqrt{1+t^4}} &=\dfrac{3x^2}{\sqrt{1+(x^3)^4}} -\dfrac{2x}{\sqrt{1+(x^2)^4}}=\\ &=\dfrac{3x^2}{\sqrt{1+x^{12}}} -\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^8}}\end{aligned}

в) Здесь

u(x)=\sin x

v(x)=\cos x

f(t)=\cos(\pi t^2)

. Тогда

\begin{aligned} \dfrac d{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)\,dt &=-\sin x\cos\left(\pi\cos^2x\right) -\cos x\cos\left(\pi\sin^2x\right)\end{aligned}

Так как

\begin{aligned} \cos\left(\pi\cos^2x\right) &=\cos\left(\pi-\pi\sin^2x\right)=\\ &=-\cos\left(\pi\sin^2x\right)\end{aligned}

получаем более компактную запись

\dfrac d{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)\,dt =(\sin x-\cos x)\cos\left(\pi\sin^2x\right)