Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2276

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dx}{\sin^4x+\cos^4x}

Ответ:

2\sqrt2\,\pi

Решение

Используем формулы двойного угла, чтобы привести знаменатель к линейному выражению от косинуса:

\begin{aligned} \sin^4x+\cos^4x &=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\\ &=1-\dfrac12\sin^22x=\\ &=1-\dfrac14(1-\cos4x)=\dfrac{3+\cos4x}{4}\end{aligned}

Этот знаменатель не меньше

\frac12

, поэтому интеграл существует. Вводим замену

t=4x,\qquad x=\dfrac t4,\qquad dx=\dfrac14\,dt

Новые пределы равны

0

8\pi

. Обозначим интеграл за один период через

J=\int_0^{2\pi}\dfrac{dt}{3+\cos t}

Тогда

\begin{aligned} I&=4\int_0^{2\pi}\dfrac{dx}{3+\cos4x}=\\ &=\int_0^{8\pi}\dfrac{dt}{3+\cos t}=4J\end{aligned}

Последнее равенство следует из периодичности: промежуток содержит четыре полных периода. Для вычисления

J

сравним две половины периода. В интеграле по второй половине положим

w=2\pi-t,\qquad t=2\pi-w,\qquad dt=-dw

Новые пределы и значение косинуса равны

\begin{gathered} t=\pi\ \Longrightarrow\ w=\pi, \qquad t=2\pi\ \Longrightarrow\ w=0\\ \cos(2\pi-w)=\cos w\end{gathered}

Поэтому интеграл по второй половине периода преобразуется следующим образом:

\int_\pi^{2\pi}\dfrac{dt}{3+\cos t} =-\int_\pi^0\dfrac{dw}{3+\cos w} =\int_0^\pi\dfrac{dw}{3+\cos w}

Следовательно,

J

вдвое больше интеграла по

[0,\pi]

. На

[0,\pi)

вводим подстановку:

\begin{gathered} u=\tg\dfrac t2,\qquad t=2\arctg u\\ dt=\dfrac{2\,du}{1+u^2},\qquad \cos t=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}\\ u:0\longrightarrow+\infty\end{gathered}

Бесконечный верхний предел возникает при

t\to\pi^-

. Замену сначала выполняем на укороченном отрезке, затем переходим к пределу; исходная функция при

t=\pi

непрерывна. Покажем сокращение после этой замены:

\begin{gathered} 3+\cos t =\dfrac{3(1+u^2)+1-u^2}{1+u^2} =\dfrac{4+2u^2}{1+u^2}\\ \dfrac{dt}{3+\cos t} =\dfrac{2\,du}{4+2u^2}=\dfrac{du}{2+u^2}\end{gathered}

Чтобы получить знаменатель

1+v^2

, положим

v=\dfrac u{\sqrt2}, \qquad u=\sqrt2\,v, \qquad du=\sqrt2\,dv

Пределы остаются

0

+\infty

. После подстановки знаменатель равен

2+u^2=2+2v^2=2(1+v^2)

Множитель перед интегралом складывается из прежнего коэффициента

2

, множителя

\sqrt2

в дифференциале и множителя

2

в знаменателе:

\dfrac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2

Следовательно,

\begin{aligned} J&=2\int_0^\pi\dfrac{dt}{3+\cos t} =2\int_0^{+\infty}\dfrac{du}{2+u^2}=\\ &=\sqrt2\int_0^{+\infty}\dfrac{dv}{1+v^2}=\\ &=\sqrt2\bigl[\arctg v\bigr]_0^{+\infty} =\dfrac\pi{\sqrt2}\end{aligned}

Следовательно,

I=4J=2\sqrt2\,\pi