Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2228

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin\frac\pi n\cdot\sum_{k=1}^n\frac1{2+\cos\frac{k\pi}n}

Ответ:

\lim_{n\to\infty}\sin\dfrac\pi n \sum_{k=1}^{n}\dfrac1{2+\cos\frac{k\pi}{n}} =\dfrac\pi{\sqrt3}

Решение

Представим выражение в виде произведения:

\begin{aligned} S_n &=n\sin\dfrac\pi n\cdot \dfrac1n\sum_{k=1}^{n} \dfrac1{2+\cos\frac{k\pi}{n}}\end{aligned}

Для первого множителя используем замечательный предел:

n\sin\dfrac\pi n =\pi\,\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{\pi}{n}} \longrightarrow\pi

Второй множитель является правой интегральной суммой для непрерывной функции

f(x)=\frac1{2+\cos(\pi x)}

на

[0;1]

. При вычислении интеграла положим

t=\pi x

dx=\frac{dt}{\pi}

. Концы

x=0

x=1

переходят в

t=0

t=\pi

, а множитель

\pi

перед интегралом сокращается. Поэтому

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &=\pi\int_0^1\dfrac{dx}{2+\cos(\pi x)} =\int_0^\pi\dfrac{dt}{2+\cos t}\end{aligned}

Для вычисления последнего интеграла при

0\leqslant t<\pi

применим универсальную подстановку

z=\tg\dfrac t2, \qquad \cos t=\dfrac{1-z^2}{1+z^2}, \qquad dt=\dfrac{2\,dz}{1+z^2}

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{dt}{2+\cos t} &=2\int\dfrac{dz}{z^2+3} =\dfrac2{\sqrt3}\arctg\dfrac z{\sqrt3}+C\end{aligned}

Следовательно, на указанном промежутке первообразная имеет вид

F(t)=\dfrac2{\sqrt3} \arctg\left(\dfrac1{\sqrt3}\tg\dfrac t2\right)

Подстановка

z=\tg\frac t2

не определена при

t=\pi

. Однако подынтегральная функция непрерывна на всём отрезке

[0;\pi]

, поэтому значение интеграла можно найти предельным переходом:

\begin{aligned} \int_0^\pi\dfrac{dt}{2+\cos t} &=\lim_{b\to\pi^-}\int_0^b\dfrac{dt}{2+\cos t}=\\ &=\lim_{b\to\pi^-}\bigl(F(b)-F(0)\bigr) =\dfrac\pi{\sqrt3}\end{aligned}