Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2229

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

Задача 2229

lim⁡n→∞∑k=1n(nx+k)(nx+k+1)n2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt{(nx+k)(nx+k+1)}}{n^2} (x>0)(x>0).
Ответ:При x>0x>0lim⁡n→∞∑k=1n(nx+k)(nx+k+1)n2=x+12\lim_{n\to\infty}
\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}
\sqrt{(nx+k)(nx+k+1)}}{n^2}
=x+\dfrac12

Решение

По условию x>0x>0. Обозначим исходное выражение через SnS_n и преобразуем его:Sn=1n2∑k=1n(nx+k)(nx+k+1)==1n∑k=1n(x+kn)(x+k+1n)\begin{aligned}
S_n
&=\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{(nx+k)(nx+k+1)}=\\
&=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}
\sqrt{\left(x+\dfrac kn\right)
\left(x+\dfrac{k+1}{n}\right)}
\end{aligned}Положим yk,n=x+kny_{k,n}=x+\frac kn. Тогда yk,n⩾x>0y_{k,n}\geqslant x>0 и0⩽yk,n(yk,n+1n)−yk,n==yk,nnyk,n(yk,n+1n)+yk,n⩽12n\begin{aligned}
0
&\leqslant\sqrt{y_{k,n}\left(y_{k,n}+\dfrac1n\right)}-y_{k,n}=\\
&=\dfrac{\frac{y_{k,n}}n}
{\sqrt{y_{k,n}\left(y_{k,n}+\frac1n\right)}+y_{k,n}}
\leqslant\dfrac1{2n}
\end{aligned}Так как yk,n(yk,n+1n)⩾yk,n>0\sqrt{y_{k,n}(y_{k,n}+\frac1n)}\geqslant y_{k,n}>0, знаменатель не меньше 2yk,n2y_{k,n}. Оценка не зависит от kk. В сумме nn слагаемых, и перед ней стоит множитель 1n\frac1n. Поэтому∣Sn−1n∑k=1n(x+kn)∣⩽12n⟶0\left|
S_n-\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\left(x+\dfrac kn\right)
\right|
\leqslant\dfrac1{2n}\longrightarrow0Остаётся правая интегральная сумма1n∑k=1n(x+kn)⟶∫01(x+t) dt=x+12\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\left(x+\dfrac kn\right)
\longrightarrow\int_0^1(x+t)\,dt
=x+\dfrac12
Демидович № 2229 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика