Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2277

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2277

∫0π/2sin⁡xsin⁡2xsin⁡3x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\sin2x\sin3x\,dx.
Ответ:16\dfrac16

Решение

Чтобы интегрировать произведение трёх синусов, преобразуем его в сумму. Сначала используем формулу произведения двух синусов:sin⁡xsin⁡3x=12(cos⁡2x−cos⁡4x)\sin x\sin3x=\dfrac12(\cos2x-\cos4x)Умножаем на sin⁡2x\sin2x. Используем формулуsin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin\alpha\cos\beta
=\dfrac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr)Она даётsin⁡xsin⁡2xsin⁡3x=12sin⁡2xcos⁡2x−12sin⁡2xcos⁡4x==14(sin⁡4x−sin⁡6x+sin⁡2x)\begin{aligned}
\sin x\sin2x\sin3x
&=\dfrac12\sin2x\cos2x-\dfrac12\sin2x\cos4x=\\
&=\dfrac14(\sin4x-\sin6x+\sin2x)
\end{aligned}Знак плюс перед sin⁡2x\sin2x возникает из равенства sin⁡(−2x)=−sin⁡2x\sin(-2x)=-\sin2x. При k>0k>0 первообразная функции sin⁡kx\sin kx равна −cos⁡kxk-\frac{\cos kx}{k}. Подстановка пределов даёт∫0π2sin⁡kx dx=[−cos⁡kxk]0π2=1−cos⁡kπ2k\int_0^{\frac\pi2}\sin kx\,dx
=\left[-\dfrac{\cos kx}{k}\right]_0^{\frac\pi2}
=\dfrac{1-\cos\frac{k\pi}{2}}{k}Применим эту формулу при k=4,6,2k=4,6,2:∫0π2sin⁡4x dx=1−cos⁡2π4=0∫0π2sin⁡6x dx=1−cos⁡3π6=1−(−1)6=13∫0π2sin⁡2x dx=1−cos⁡π2=1\begin{aligned}
\int_0^{\frac\pi2}\sin4x\,dx&=\dfrac{1-\cos2\pi}{4}=0\\
\int_0^{\frac\pi2}\sin6x\,dx&=\dfrac{1-\cos3\pi}{6}
=\dfrac{1-(-1)}6=\dfrac13\\
\int_0^{\frac\pi2}\sin2x\,dx&=\dfrac{1-\cos\pi}{2}=1
\end{aligned}ПоэтомуI=14(0−13+1)=16I=\dfrac14\left(0-\dfrac13+1\right)=\dfrac16
Демидович № 2277 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика