Раздел IV. Определённый интеграл — § 3

Демидович § 3. Теоремы о среднем

Условия, ответы и подробные решения задач 2316–2333

Задачи 2316–2333

18 из 18 с разбором

Задача 2316

Определить знаки следующих определённых интегралов:а) ∫02πxsin⁡x dx;б) ∫02πsin⁡xx dx;\text{а) }\int_0^{2\pi}x\sin x\,dx;\qquad
\text{б) }\int_0^{2\pi}\frac{\sin x}x\,dx;в) ∫−22x32x dx;г) ∫1/21x2ln⁡x dx.\text{в) }\int_{-2}^2x^32^x\,dx;\qquad
\text{г) }\int_{1/2}^1x^2\ln x\,dx.

Задача 2317

Определить, какой интеграл больше:а) ∫0π/2sin⁡10x dxили∫0π/2sin⁡2x dx;\text{а) }\int_0^{\pi/2}\sin^{10}x\,dx\quad\text{или}\quad\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx;б) ∫01e−x dxили∫01e−x2 dx;\text{б) }\int_0^1e^{-x}\,dx\quad\text{или}\quad\int_0^1e^{-x^2}\,dx;в) ∫0πe−x2cos⁡2x dxили∫π2πe−x2cos⁡2x dx.\text{в) }\int_0^\pi e^{-x^2}\cos^2x\,dx\quad\text{или}\quad\int_\pi^{2\pi}e^{-x^2}\cos^2x\,dx.

Задача 2318

Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:

а) f(x)=x2f(x)=x^2 на [0,1][0,1];

б) f(x)=xf(x)=\sqrt x на [0,100][0,100];

в) f(x)=10+2sin⁡x+3cos⁡xf(x)=10+2\sin x+3\cos x на [0,2π][0,2\pi];

г) f(x)=sin⁡xsin⁡(x+φ)f(x)=\sin x\sin(x+\varphi) на [0,2π][0,2\pi].

Задача 2319

1. Найти среднее значение длины фокального радиуса-вектора эллипсаr=ρ1−εcos⁡φ(0<ε<1).r=\frac{\rho}{1-\varepsilon\cos\varphi}\quad(0<\varepsilon<1).2. Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна v0v_0.

Задача 2320

Сила переменного тока изменяется по законуi=i0sin⁡(2πtT+φ),i=i_0\sin\left(\frac{2\pi t}T+\varphi\right),где i0i_0 --- амплитуда, tt --- время, TT --- период и φ\varphi --- начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока.

Задача 2321

Пусть f(x)∈C[0,+∞)f(x)\in C[0,+\infty) и lim⁡x→+∞f(x)=A\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=A. Найтиlim⁡x→+∞1x∫0xf(t) dt.\lim_{x\to+\infty}\frac1x\int_0^xf(t)\,dt.Рассмотреть пример f(x)=arctg⁡xf(x)=\arctg x.

Задача 2322

Пусть ∫0xf(t) dt=xf(θx)\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt=xf(\theta x). Найти θ\theta, если:

а) f(t)=tnf(t)=t^n (n>−1)(n>-1); б) f(t)=ln⁡tf(t)=\ln t; в) f(t)=etf(t)=e^t.

Чему равны lim⁡x→+0θ\displaystyle\lim_{x\to+0}\theta и lim⁡x→+∞θ\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\theta?
Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2323

∫02πdx1+0,5cos⁡x\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+0{,}5\cos x}.

Задача 2324

∫01x91+x dx\displaystyle\int_0^1\frac{x^9}{\sqrt{1+x}}\,dx.

Задача 2325

∫0100e−xx+100 dx\displaystyle\int_0^{100}\frac{e^{-x}}{x+100}\,dx.

Задача 2326

1. Доказать равенства:а) lim⁡n→∞∫01xn1+x dx=0;б) lim⁡n→∞∫0π/2sin⁡nx dx=0.\text{а) }\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx=0;\qquad
\text{б) }\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx=0.2. Найти:а) lim⁡ε→0∫01dxεx3+1;б) lim⁡ε→+0∫aεbεf(x)dxx,\text{а) }\lim_{\varepsilon\to0}\int_0^1\frac{dx}{\varepsilon x^3+1};\qquad
\text{б) }\lim_{\varepsilon\to+0}\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}f(x)\frac{dx}x,где a>0a>0, b>0b>0 и f(x)∈C[0,1]f(x)\in C[0,1].

Задача 2327

Пусть f(x)f(x) непрерывна на [a,b][a,b], а φ(x)\varphi(x) непрерывна на [a,b][a,b] и дифференцируема на (a,b)(a,b), причёмφ′(x)≥0при a<x<b.\varphi'(x)\ge0\quad\text{при }a<x<b.Доказать вторую теорему о среднем, применяя интегрирование по частям и используя первую теорему о среднем.
Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2328

∫100π200πsin⁡xx dx\displaystyle\int_{100\pi}^{200\pi}\frac{\sin x}x\,dx.

Задача 2329

∫abe−αxxsin⁡x dx\displaystyle\int_a^b\frac{e^{-\alpha x}}x\sin x\,dx (α≥0; 0<a<b)(\alpha\ge0;\ 0<a<b).

Задача 2330

∫absin⁡x2 dx\displaystyle\int_a^b\sin x^2\,dx (0<a<b)(0<a<b).

Задача 2331

Пусть функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) интегрируемы на промежутке [a,b][a,b] вместе со своими квадратами. Доказать неравенство Коши---Буняковского{∫abφ(x)ψ(x) dx}2≤∫abφ2(x) dx∫abψ2(x) dx.\left\{\int_a^b\varphi(x)\psi(x)\,dx\right\}^2
\le\int_a^b\varphi^2(x)\,dx\int_a^b\psi^2(x)\,dx.

Задача 2332

Пусть функция f(x)f(x) непрерывно дифференцируема на сегменте [a,b][a,b] и f(a)=0f(a)=0.

Доказать неравенствоM2≤(b−a)∫abf′2(x) dx,M^2\le(b-a)\int_a^bf'^2(x)\,dx,где M=sup⁡a≤x≤b∣f(x)∣M=\displaystyle\sup_{a\le x\le b}|f(x)|.

Задача 2333

Доказать равенствоlim⁡n→∞∫nn+psin⁡xx dx=0(p>0).\lim_{n\to\infty}\int_n^{n+p}\frac{\sin x}x\,dx=0\quad(p>0).