Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2259

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2259

Доказать, что одна из первообразных чётной функции есть функция нечётная, а всякая первообразная нечётной функции есть функция чётная.

Доказано:На симметричном относительно нуля промежутке, если

F'=f

, то для чётной

f

нечётной первообразной является

G(x)=F(x)-F(0)

. Для нечётной

f

каждая первообразная

F

удовлетворяет

F(-x)=F(x)

и потому чётная.

Доказательство

Работаем на симметричном относительно нуля промежутке и обозначаем первообразную функции

f

через

F

F'(x)=f(x)

Сначала пусть

f

чётная. Рассмотрим сумму

H(x)=F(x)+F(-x)

При дифференцировании

F(-x)

возникает множитель

-1

, поэтому

H'(x)=f(x)-f(-x)=0

Функция с нулевой производной постоянна. Подставляя

x=0

, находим эту постоянную и получаем

F(x)+F(-x)=2F(0)

Выберем первообразную

G(x)=F(x)-F(0)

Вычитание постоянной не меняет её производную, а из последнего равенства следует

G(-x)=F(-x)-F(0)=-F(x)+F(0)=-G(x)

Значит,

G

нечётная. Именно выбор постоянной обеспечивает нечётность; прибавление произвольной ненулевой постоянной может её нарушить.

Например, для чётной функции

f(x)=1

первообразные имеют вид

x+C

. Условие нечётности имеет вид

-x+C=-(x+C)

Это равенство выполняется только при

C=0

, поэтому нечётна лишь первообразная

x

.

Теперь пусть

f

нечётная. Для любой её первообразной

F

рассмотрим разность

K(x)=F(x)-F(-x)

Тогда

K'(x)=f(x)+f(-x)=0

Следовательно,

K

постоянна. При

x=0

она равна нулю, поэтому

F(x)-F(-x)=0, \qquad F(-x)=F(x)

Таким образом, любая первообразная нечётной функции чётная. Прибавление постоянной это свойство сохраняет.

Что и требовалось доказать