Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2230

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{1/n}}{n+1}+\frac{2^{2/n}}{n+\frac12}+\dots+\frac{2^{n/n}}{n+\frac1n}\right)

Ответ:

\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}\dfrac{2^{\frac{k}{n}}}{n+\frac1k} =\dfrac1{\ln2}

Решение

Запишем сумму в общем виде:

\begin{aligned} S_n &=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{2^{\frac{k}{n}}}{n+\frac1k} =\dfrac1n\sum_{k=1}^{n} \dfrac{2^{\frac{k}{n}}}{1+\frac1{nk}}\end{aligned}

Положим

\dfrac1{1+\frac1{nk}}=1+r_{k,n}

Вычтем единицу и оценим остаток:

r_{k,n} =\dfrac1{1+\frac1{nk}}-1 =-\dfrac1{nk+1}, \qquad |r_{k,n}|\leqslant\dfrac1n

то есть остаток стремится к нулю равномерно по

k

. Поскольку

1\leqslant2^{\frac{k}{n}}\leqslant2

, имеем

\left| S_n-\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}2^{\frac{k}{n}} \right| \leqslant\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}2|r_{k,n}| \leqslant\dfrac2n \longrightarrow0

После отбрасывания равномерно малой добавки остаётся интегральная сумма:

\begin{aligned} \dfrac1n\sum_{k=1}^{n}2^{\frac{k}{n}} &\longrightarrow\int_0^1 2^x\,dx =\dfrac{2^x}{\ln2}\bigg|_0^1 =\dfrac1{\ln2}\end{aligned}