Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2272

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2272

∫−2−1dxxx2−1\displaystyle\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}.
Ответ:−π3-\dfrac\pi3

Решение

На [−2,−1)[-2,-1) знаменатель отрицателен, а при x=−1x=-1 корень обращается в нуль. Интеграл понимаем как предел при приближении верхнего конца слева. Для устранения корня на отрицательной ветви используемx=−1cos⁡t,t=arccos⁡(−1x)dx=−sin⁡tcos⁡2t dt,0<t⩽π3\begin{gathered}
x=-\dfrac1{\cos t},
\qquad t=\arccos\left(-\dfrac1x\right)\\
dx=-\dfrac{\sin t}{\cos^2t}\,dt,
\qquad 0<t\leqslant\dfrac\pi3
\end{gathered}Новые пределы определяются так:x=−2⟹t=π3,x→−1−⟹t→0+x=-2\quad\Longrightarrow\quad t=\dfrac\pi3,
\qquad x\to-1^-\quad\Longrightarrow\quad t\to0^+Поскольку на этом промежутке синус и косинус положительны,x2−1=tg⁡2t=tg⁡t=sin⁡tcos⁡t\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\tg^2t}=\tg t=\dfrac{\sin t}{\cos t}Теперь числитель и знаменатель преобразованного выражения совпадают:dxxx2−1=−sin⁡tcos⁡2t dt−1cos⁡t⋅sin⁡tcos⁡t==dt\begin{aligned}
\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}
&=\dfrac{-\frac{\sin t}{\cos^2t}\,dt}
{-\frac1{\cos t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t}}=\\
&=dt
\end{aligned}Сохраняя порядок новых пределов, получаемI=lim⁡δ→0+∫π3δdt=−π3I=\lim_{\delta\to0^+}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\delta}dt
=-\dfrac\pi3Конечный предел подтверждает сходимость. Его отрицательный знак объясняется исходной отрицательной функцией и пределами от −2-2 к −1-1.
Демидович № 2272 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика