Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2234

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

Задача 2234

Доказать, что∫0xet2 dt∼12xex2\int_0^xe^{t^2}\,dt\sim\frac1{2x}e^{x^2}при x→+∞x\to+\infty.
Доказано:∫0xet2 dt∼ex22x,x→+∞\int_0^x e^{t^2}\,dt
\sim\dfrac{e^{x^2}}{2x},
\qquad x\to+\infty

Доказательство

При x→+∞x\to+\infty обе функции∫0xet2 dtиex22x\int_0^x e^{t^2}\,dt
\qquad\text{и}\qquad
\dfrac{e^{x^2}}{2x}стремятся к бесконечности. Применим правило Лопиталя. Производная знаменателя равна(ex22x)′=ex2−ex22x2=ex2(1−12x2)\begin{aligned}
\left(\dfrac{e^{x^2}}{2x}\right)'
&=e^{x^2}-\dfrac{e^{x^2}}{2x^2}=e^{x^2}\left(1-\dfrac1{2x^2}\right)
\end{aligned}Поэтомуlim⁡x→+∞∫0xet2 dtex22x=lim⁡x→+∞ex2ex2(1−12x2)=1\begin{aligned}
\lim_{x\to+\infty}
\dfrac{\displaystyle\int_0^x e^{t^2}\,dt}
{\frac{e^{x^2}}{2x}}
&=\lim_{x\to+\infty}
\dfrac{e^{x^2}}
{e^{x^2}\left(1-\frac1{2x^2}\right)}=1
\end{aligned}Следовательно,∫0xet2 dt∼ex22x,x→+∞\int_0^x e^{t^2}\,dt
\sim\dfrac{e^{x^2}}{2x},
\qquad x\to+\inftyЗнак ∼\sim означает именно то, что отношение этих двух выражений стремится к единице.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2234 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика