Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2235

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

Задача 2235

Найтиlim⁡x→+0∫0sin⁡xtg⁡t dt∫0tg⁡xsin⁡t dt.\lim_{x\to+0}\frac{\int_0^{\sin x}\sqrt{\tg t}\,dt}{\int_0^{\tg x}\sqrt{\sin t}\,dt}.
Ответ:11

Решение

Рассматриваем 0<x<π40<x<\frac\pi4. Тогда 0<sin⁡x<π20<\sin x<\frac\pi2 и 0<tg⁡x<1<π20<\tg x<1<\frac\pi2, поэтому подкоренные функции неотрицательны на соответствующих отрезках. Оба интеграла определены, положительны и стремятся к нулю при x→0+x\to0^+. По основной теореме анализа и правилу Лопиталяlim⁡x→0+∫0sin⁡xtg⁡t dt∫0tg⁡xsin⁡t dt=lim⁡x→0+tg⁡(sin⁡x)cos⁡xsin⁡(tg⁡x)1cos⁡2x=lim⁡x→0+cos⁡3xtg⁡(sin⁡x)sin⁡(tg⁡x)\begin{aligned}
&\lim_{x\to0^+}
\dfrac{\displaystyle\int_0^{\sin x}\sqrt{\tg t}\,dt}
{\displaystyle\int_0^{\tg x}\sqrt{\sin t}\,dt}=\lim_{x\to0^+}
\dfrac{\sqrt{\tg(\sin x)}\cos x}
{\sqrt{\sin(\tg x)}\frac1{\cos^2x}}=\lim_{x\to0^+}
\cos^3x\sqrt{\dfrac{\tg(\sin x)}{\sin(\tg x)}}
\end{aligned}Для выражения под корнем имеемtg⁡(sin⁡x)sin⁡(tg⁡x)=tg⁡(sin⁡x)sin⁡x⋅sin⁡xtg⁡x⋅tg⁡xsin⁡(tg⁡x)⟶1\begin{aligned}
\dfrac{\tg(\sin x)}{\sin(\tg x)}
&=\dfrac{\tg(\sin x)}{\sin x}
\cdot\dfrac{\sin x}{\tg x}
\cdot\dfrac{\tg x}{\sin(\tg x)}
\longrightarrow 1
\end{aligned}Первый и третий множители стремятся к единице по пределам tg⁡uu→1\frac{\tg u}{u}\to1 и sin⁡uu→1\frac{\sin u}{u}\to1. Средний множитель равен sin⁡xtg⁡x=cos⁡x→1\frac{\sin x}{\tg x}=\cos x\to1. Кроме того, cos⁡3x→1\cos^3x\to1. Следовательно, искомый предел равен единице.
Демидович № 2235 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика