Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2220

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью определённых интегралов найти пределы следующих сумм:

Задача 2220

lim⁡n→∞(1n+1+1n+2+⋯+1n+n)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\dots+\frac1{n+n}\right).
Ответ:ln⁡2\ln2

Решение

Представим сумму следующим образом:1n+1+1n+2+⋯+1n+n=1n∑k=1n11+kn\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\cdots+\dfrac1{n+n}
=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{1+\dfrac{k}{n}}При равномерном разбиении [0;1][0;1] длина каждого отрезка и его правый конец равныΔx=1n,xk=kn,k=1,…,n\Delta x=\dfrac1n,
\qquad x_k=\dfrac kn,
\qquad k=1,\ldots,nЭто правая интегральная сумма для непрерывной функции f(x)=11+xf(x)=\frac1{1+x} на отрезке [0,1][0,1]. Следовательно,lim⁡n→∞1n∑k=1n11+kn=∫01dx1+x=ln⁡2\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{1+\dfrac{k}{n}}
=\int_0^1\dfrac{dx}{1+x}
=\ln2