Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2267

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Доказать, что функция

F(x)=\int_{x_0}^xf(t)\,dt,

где

f(x)

--- непрерывная периодическая функция с периодом

T

, в общем случае есть сумма линейной функции и периодической функции периода

T

Доказано:

F(x)=\mu x+P(x), \qquad \mu=\dfrac1T\int_0^T f(t)\,dt, \qquad P(x+T)=P(x)

Здесь

T>0

является периодом непрерывной функции

f

Доказательство

Обозначим среднее значение непрерывной периодической функции

f

за один период через

\mu=\dfrac1T\int_0^T f(t)\,dt, \qquad T>0

Разность значений данной первообразной на расстоянии одного периода равна

\begin{aligned} F(x+T)-F(x) &=\int_x^{x+T}f(t)\,dt=\\ &=\int_0^T f(t)\,dt=T\mu\end{aligned}

Здесь использовано доказанное свойство: интеграл по полному периоду не зависит от его начала.

Объясним выбор линейной части. Если вычесть

cx

с пока неизвестным коэффициентом

c

, то за один период разность изменится на

\bigl(F(x+T)-c(x+T)\bigr)-\bigl(F(x)-cx\bigr) =T\mu-cT

Для периодичности этот прирост должен равняться нулю. Так как

T>0

, получаем

c=\mu

. Поэтому положим

P(x)=F(x)-\mu x

Тогда

P(x+T)-P(x) =F(x+T)-F(x)-\mu T=0

Следовательно,

P

имеет период

T

, а

F(x)=\mu x+P(x)

является суммой линейной и периодической функций.

Нижний предел

x_0

влияет лишь на постоянную составляющую

P

. Сама функция

F

имеет период

T

тогда и только тогда, когда

\mu=0

Что и требовалось доказать