Раздел IV. Определённый интеграл — § 4

Демидович § 4. Несобственные интегралы

Условия, ответы и подробные решения задач 2334–2361

Задачи 2334–2361

28 из 28 с разбором

Вычислить интегралы:

Задача 2334

∫a+∞dxx2\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^2} (a>0)(a>0).

Задача 2335

∫01ln⁡x dx\displaystyle\int_0^1\ln x\,dx.

Задача 2336

∫−∞+∞dx1+x2\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}.

Задача 2337

∫−11dx1−x2\displaystyle\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.

Задача 2338

∫2+∞dxx2+x−2\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x^2+x-2}.

Задача 2339

∫−∞+∞dx(x2+x+1)2\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+x+1)^2}.

Задача 2340

∫0+∞dx1+x2\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}.

Задача 2341

∫0+∞x2+1x4+1 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx.

Задача 2342

∫01dx(2−x)1−x\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{(2-x)\sqrt{1-x}}.

Задача 2343

∫1+∞dxx1+x5+x10\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{1+x^5+x^{10}}}.

Задача 2344

∫0+∞xln⁡x(1+x2)2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx.

Задача 2345

∫0+∞arctg⁡x(1+x2)3/2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctg x}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx.

Задача 2346

∫0+∞e−axcos⁡bx dx\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-ax}\cos bx\,dx (a>0)(a>0).

Задача 2347

∫0+∞e−axsin⁡bx dx\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin bx\,dx (a>0)(a>0).
С помощью формул понижения вычислить следующие несобственные интегралы (nn --- натуральное число):

Задача 2348

In=∫0+∞xne−x dx\displaystyle I_n=\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,dx.

Задача 2349

In=∫−∞+∞dx(ax2+2bx+c)n\displaystyle I_n=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(ax^2+2bx+c)^n} (ac−b2>0)(ac-b^2>0).

Задача 2350

In=∫1+∞dxx(x+1)…(x+n)\displaystyle I_n=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x(x+1)\dots(x+n)}.

Задача 2351

In=∫01xn dx(1−x)(1+x)\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n\,dx}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}.

Задача 2352

In=∫0+∞dxch⁡n+1x\displaystyle I_n=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{\ch^{n+1}x}.

Задача 2353

а) ∫0π/2ln⁡sin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx; б) ∫0π/2ln⁡cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln\cos x\,dx.

Задача 2354

Найти∫Ee−x/2∣sin⁡x−cos⁡x∣sin⁡x dx,\int_E e^{-x/2}\frac{|\sin x-\cos x|}{\sqrt{\sin x}}\,dx,где EE --- множество тех значений xx интервала (0,+∞)(0,+\infty), для которых подынтегральное выражение имеет смысл.

Задача 2355

Доказать равенство∫0+∞f(ax+bx) dx=1a∫0+∞f(x2+4ab) dx,\int_0^{+\infty}f\left(ax+\frac bx\right)\,dx
=\frac1a\int_0^{+\infty}f\bigl(\sqrt{x^2+4ab}\bigr)\,dx,где a>0a>0 и b>0b>0, предполагая, что интеграл в левой части равенства имеет смысл.

Задача 2356

Средним значением функции f(x)f(x) на интервале (0,+∞)(0,+\infty) называется числоM[f]=lim⁡x→+∞1x∫0xf(ξ) dξ.M[f]=\lim_{x\to+\infty}\frac1x\int_0^xf(\xi)\,d\xi.Найти средние значения следующих функций:

а) f(x)=sin⁡2x+cos⁡2(x2)f(x)=\sin^2x+\cos^2(x\sqrt2); б) f(x)=arctg⁡xf(x)=\arctg x;

в) f(x)=xsin⁡xf(x)=\sqrt x\sin x.

Задача 2357

Найти:а) lim⁡x→0x∫x1cos⁡tt2 dt;б) lim⁡x→∞∫0x1+t4 dtx3;\text{а) }\lim_{x\to0}x\int_x^1\frac{\cos t}{t^2}\,dt;\qquad
\text{б) }\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x\sqrt{1+t^4}\,dt}{x^3};в) lim⁡x→0∫x+∞t−1e−t dtln⁡1x;г) lim⁡x→0xα∫x1f(t)tα+1 dt,\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{+\infty}t^{-1}e^{-t}\,dt}{\ln\frac1x};\qquad
\text{г) }\lim_{x\to0}x^\alpha\int_x^1\frac{f(t)}{t^{\alpha+1}}\,dt,где α>0\alpha>0 и f(t)f(t) --- непрерывная функция на сегменте [0,1][0,1].
Исследовать сходимость интегралов:

Задача 2358

∫0+∞x2 dxx4−x2+1\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^2\,dx}{x^4-x^2+1}.

Задача 2359

∫1+∞dxxx2+13\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt[3]{x^2+1}}.

Задача 2360

∫02dxln⁡x\displaystyle\int_0^2\frac{dx}{\ln x}.

Задача 2361

∫0+∞xp−1e−x dx\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,dx.