Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2222

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью определённых интегралов найти пределы следующих сумм:

Задача 2222

lim⁡n→∞1n(sin⁡πn+sin⁡2πn+⋯+sin⁡(n−1)πn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(\sin\frac\pi n+\sin\frac{2\pi}n+\dots+\sin\frac{(n-1)\pi}n\right).
Ответ:lim⁡n→∞1n∑k=1n−1sin⁡kπn=2π\lim_{n\to\infty}\dfrac1n
\sum_{k=1}^{n-1}\sin\dfrac{k\pi}{n}
=\dfrac2\pi

Решение

Недостающее слагаемое при k=nk=n равно нулю, поскольку sin⁡π=0\sin\pi=0. Поэтому данную сумму можно записать какSn=1n∑k=1nsin⁡kπnS_n=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\sin\dfrac{k\pi}{n}При равномерном разбиении [0;1][0;1] длина каждого отрезка и его правый конец равныΔx=1n,xk=kn,k=1,…,n\Delta x=\dfrac1n,
\qquad x_k=\dfrac kn,
\qquad k=1,\ldots,nЭто правая интегральная сумма для непрерывной функции f(x)=sin⁡(πx)f(x)=\sin(\pi x) на [0;1][0;1]. Следовательно,lim⁡n→∞Sn=∫01sin⁡(πx) dx=−1πcos⁡(πx)∣01=2π\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}S_n
&=\int_0^1\sin(\pi x)\,dx
=-\dfrac1\pi\cos(\pi x)\bigg|_0^1
=\dfrac2\pi
\end{aligned}