Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2226

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти:

Задача 2226

lim⁡n→∞[1n∑k=1nf(a+kb−an)]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(a+k\frac{b-a}n\right)\right].
Ответ:Если a≠ba\ne b, предполагается интегрируемость ff на отрезке с концами aa и bb; если a=ba=b, достаточно, чтобы значение f(a)f(a) было определено. Тогдаlim⁡n→∞1n∑k=1nf(a+kb−an)={1b−a∫abf(t) dt,a≠bf(a),a=b\lim_{n\to\infty}\dfrac1n
\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)
=\begin{cases}
\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt,&a\ne b\\[6pt]
f(a),&a=b
\end{cases}

Решение

Сначала пусть a<ba<b, а функция ff интегрируема на [a;b][a;b]. Положимh=b−an,xk=a+khh=\dfrac{b-a}{n},
\qquad
x_k=a+khТогда1n∑k=1nf(a+kb−an)=1b−a∑k=1nf(xk)h\begin{aligned}
\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)
&=\dfrac1{b-a}
\sum_{k=1}^{n}f(x_k)h
\end{aligned}При n→∞n\to\infty имеем h→0h\to0, поэтому сумма в правой части является правой интегральной суммой для ff на [a;b][a;b] и стремится к интегралу:∑k=1nf(xk)h⟶∫abf(x) dx\sum_{k=1}^{n}f(x_k)h
\longrightarrow\int_a^b f(x)\,dxЕсли b<ab<a, положим h=a−bn>0h=\frac{a-b}{n}>0. Точки исходной суммы теперь идут от aa к bb:a+kb−an=a−kh=b+(n−k)ha+k\dfrac{b-a}{n}=a-kh=b+(n-k)hПри переобозначении j=n−kj=n-k получаются левые концы равномерного разбиения отрезка [b,a][b,a]. Порядок слагаемых не меняет сумму, поэтому1n∑k=1nf(a+kb−an)=1a−b∑j=0n−1f(b+jh)h⟶1a−b∫baf(t) dt=1b−a∫abf(t) dt\begin{aligned}
\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)
&=\dfrac1{a-b}\sum_{j=0}^{n-1}f(b+jh)h\longrightarrow\dfrac1{a-b}\int_b^a f(t)\,dt
=\dfrac1{b-a}\int_a^b f(t)\,dt
\end{aligned}Здесь при перестановке пределов интеграл меняет знак; одновременно a−b=−(b−a)a-b=-(b-a), поэтому два минуса сокращаются. Для этого случая требуется интегрируемость ff на [b,a][b,a].

Если a=ba=b, все аргументы функции равны aa, и для любого nn1n∑k=1nf(a)=1n⋅nf(a)=f(a)\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}f(a)=\dfrac1n\cdot nf(a)=f(a)Поэтому предел равен f(a)f(a). Формулу с делением на b−ab-a в этом случае применять нельзя.
Демидович № 2226 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика