Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2281

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра nn, принимающего целые положительные значения:

Задача 2281

In=∫0π/2sin⁡nx dx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx.
Ответ:In={(n−1)!!n!! π2,n чётное(n−1)!!n!!,n нечётное,n∈N,0!!=1I_n=\begin{cases}
\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\,\dfrac\pi2,&n\text{ чётное}\\[4pt]
\dfrac{(n-1)!!}{n!!},&n\text{ нечётное}
\end{cases},
\qquad n\in\mathbb N,
\quad 0!!=1

Решение

По указанию нужно получить формулу, которая уменьшает степень синуса. Для n⩾2n\geqslant2 интегрируем по частям, отделив один множитель sin⁡x\sin x:u=sin⁡n−1x,dv=sin⁡x dxdu=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dx,v=−cos⁡x\begin{aligned}
u&=\sin^{n-1}x,&dv&=\sin x\,dx\\[4pt]
du&=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx,&v&=-\cos x
\end{aligned}Граничное слагаемое −sin⁡n−1xcos⁡x-\sin^{n-1}x\cos x равно нулю на обоих концах: при x=0x=0 исчезает степень синуса, а при x=π2x=\frac\pi2 косинус. ПоэтомуIn=(n−1)∫0π2sin⁡n−2xcos⁡2x dx==(n−1)∫0π2(sin⁡n−2x−sin⁡nx)dx==(n−1)(In−2−In)\begin{aligned}
I_n&=(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=\\
&=(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\left(\sin^{n-2}x-\sin^nx\right)dx=\\
&=(n-1)(I_{n-2}-I_n)
\end{aligned}Во втором переходе использовано cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x. Перенесём слагаемое с InI_n в левую часть:nIn=(n−1)In−2,In=n−1nIn−2nI_n=(n-1)I_{n-2},
\qquad I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}Для начала вычислений введём также вспомогательный случай n=0n=0. Начальные значения равныI0=π2,I1=[−cos⁡x]0π2=1I_0=\dfrac\pi2,
\qquad I_1=\bigl[-\cos x\bigr]_0^{\frac\pi2}=1При чётном nn повторение формулы заканчивается на I0I_0, а при нечётном на I1I_1. Например, для n=2kn=2k и n=2k+1n=2k+1 соответственно получаемI2k=2k−12k⋅2k−32k−2⋯12⋅π2,k⩾1I_{2k}=\dfrac{2k-1}{2k}\cdot\dfrac{2k-3}{2k-2}\cdots\dfrac12\cdot\dfrac\pi2,
\qquad k\geqslant1I2k+1=2k2k+1⋅2k−22k−1⋯23,k⩾1I_{2k+1}=\dfrac{2k}{2k+1}\cdot\dfrac{2k-2}{2k-1}\cdots\dfrac23,
\qquad k\geqslant1Для краткой записи используем двойной факториал:(2k)!!=2⋅4⋯2k(2k−1)!!=1⋅3⋯(2k−1)0!!=1\begin{aligned}
(2k)!!&=2\cdot4\cdots2k\\
(2k-1)!!&=1\cdot3\cdots(2k-1)\\
0!!&=1
\end{aligned}Это произведение чисел одной чётности, в отличие от обычного факториала. Тогда оба случая объединяются в ответ ниже; при n=1n=1 он также даёт 11.
Демидович № 2281 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика