Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2271

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2271

∫19x1−x3 dx\displaystyle\int_1^9x\sqrt[3]{1-x}\,dx.
Ответ:−4687-\dfrac{468}{7}

Решение

На отрезке [1,9][1,9] выражение 1−x1-x неположительно. Кубический корень понимается как действительный, поэтому1−x3=−x−13\sqrt[3]{1-x}=-\sqrt[3]{x-1}Чтобы работать с неотрицательной новой переменной, положимt=x−1,x=t+1,dx=dtt=x-1,
\qquad x=t+1,
\qquad dx=dtПределы x=1,9x=1,9 превращаются в t=0,8t=0,8. Следовательно,I=−∫08(t+1)t13 dt=−∫08(t43+t13) dt==−[37t73+34t43]08==−37⋅128−34⋅16=−4687\begin{aligned}
I&=-\int_0^8(t+1)t^{\frac13}\,dt
=-\int_0^8\left(t^{\frac43}+t^{\frac13}\right)\,dt=\\
&=-\left[\dfrac37t^{\frac73}+\dfrac34t^{\frac43}\right]_0^8=\\
&=-\dfrac37\cdot128-\dfrac34\cdot16
=-\dfrac{468}{7}
\end{aligned}Отрицательный знак согласуется с исходной функцией: при x>1x>1 множитель xx положителен, а кубический корень отрицателен.
Демидович № 2271 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика