Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2273

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_0^1x^{15}\sqrt{1+3x^8}\,dx

Ответ:

\dfrac{29}{270}

Решение

Разложение

x^{15}=x^8x^7

подсказывает замену: производная выражения под корнем содержит множитель

x^7

. Положим

t=1+3x^8, \qquad dt=24x^7\,dx, \qquad x^8=\dfrac{t-1}{3}

На отрезке

[0,1]

замена возрастает. Обратная связь равна

x=\left(\dfrac{t-1}{3}\right)^{\frac18}

Новые пределы равны

1

4

. Покажем преобразование исходного множителя до записи нового интеграла:

\begin{aligned} x^{15}\sqrt{1+3x^8}\,dx &=x^8\sqrt t\,(x^7\,dx)=\\ &=\dfrac{t-1}{3}\sqrt t\,\dfrac{dt}{24} =\dfrac1{72}(t-1)\sqrt t\,dt\end{aligned}

Таким образом, коэффициент

\frac1{72}

равен произведению

\frac13

из выражения для

x^8

\frac1{24}

из дифференциала. Поэтому

\begin{aligned} I&=\dfrac1{72}\int_1^4(t-1)\sqrt t\,dt=\dfrac1{72}\int_1^4\left(t^{\frac32}-t^{\frac12}\right)\,dt=\\ &=\dfrac1{72}\left[\dfrac25t^{\frac52}-\dfrac23t^{\frac32}\right]_1^4=\dfrac1{72}\left(\dfrac{112}{15}+\dfrac4{15}\right) =\dfrac{29}{270}\end{aligned}