Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2265

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Доказать, что если

f(x)

--- непрерывная периодическая функция, определённая при

-\infty<x<+\infty

и имеющая период

T

, то

\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^Tf(x)\,dx,

где

a

--- любое число.

Доказано:

\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^T f(x)\,dx, \qquad a\in\mathbb R, \quad T>0

Доказательство

Пусть

T>0

является периодом

f

. Обозначим интеграл по промежутку длины

T

через

H(a)

.

Поскольку

f

непрерывна на всей действительной оси, она имеет первообразную

F

, и

H(a)=\int_a^{a+T}f(x)\,dx=F(a+T)-F(a)

Дифференцируем по началу промежутка

a

. Оба предела зависят от

a

с производной

1

, поэтому

H'(a)=f(a+T)-f(a)=0

Последнее равенство следует из периодичности. Значит,

H

постоянна на всей оси, в том числе при отрицательных

a

. Её значение можно найти при

a=0

H(a)=H(0)=\int_0^T f(x)\,dx

Тем самым интеграл по одному полному периоду не зависит от положения этого промежутка.

Что и требовалось доказать