Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2280

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_0^{\ln2}\sh^4x\,dx

Ответ:

\dfrac38\ln2-\dfrac{225}{1024}

Решение

По определению гиперболического синуса

\operatorname{sh}x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2

Для любых чисел

A,B

используем формулу четвёртой степени разности:

(A-B)^4=A^4-4A^3B+6A^2B^2-4AB^3+B^4

Подставляем

A=e^x, \qquad B=e^{-x}

При умножении экспонент показатели складываются, например:

\begin{aligned} A^3B&=e^{3x}e^{-x}=e^{2x}\\ AB^3&=e^xe^{-3x}=e^{-2x}\end{aligned}

Поэтому

\operatorname{sh}^4x =\dfrac1{16}\left(e^{4x}-4e^{2x}+6-4e^{-2x}+e^{-4x}\right)

Например, среднее слагаемое равно

6e^{2x}e^{-2x}=6

, поэтому оно не зависит от

x

.

Интегрируем каждое слагаемое отдельно. При интегрировании

e^{kx}

возникает множитель

\frac1k

, в том числе отрицательный при

k<0

I=\dfrac1{16}\left[ \dfrac{e^{4x}-e^{-4x}}4 -2(e^{2x}-e^{-2x})+6x \right]_0^{\ln2}

При

x=0

выражение в скобках равно нулю. При

x=\ln2

имеем

\begin{gathered} e^{4x}=16,\qquad e^{-4x}=\dfrac1{16}\\ e^{2x}=4,\qquad e^{-2x}=\dfrac14\end{gathered}

Следовательно,

\begin{aligned} I&=\dfrac1{16}\left[\dfrac14\left(16-\dfrac1{16}\right) -2\left(4-\dfrac14\right)+6\ln2\right]=\\ &=\dfrac38\ln2-\dfrac{225}{1024}\end{aligned}