Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2274

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_0^3\arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}\,dx

Ответ:

\dfrac{4\pi}{3}-\sqrt3

Решение

Арксинус удобно убрать заменой, при которой его аргумент становится синусом новой переменной. Берём

x=\tg^2t, \qquad t=\arctg\sqrt x, \qquad dx=\dfrac{2\tg t}{\cos^2t}\,dt

При

x=0

имеем

t=0

, а при

x=3

имеем

t=\frac\pi3

. На этом отрезке синус неотрицателен, косинус положителен, и

\sqrt{\dfrac{x}{1+x}} =\sqrt{\dfrac{\tg^2t}{1+\tg^2t}} =\sqrt{\sin^2t}=\sin t

Поскольку

0\leqslant t\leqslant\frac\pi3<\frac\pi2

, главное значение арксинуса равно

t

. Для искомого интеграла получаем

I=\int_0^{\frac\pi3}t\dfrac{2\tg t}{\cos^2t}\,dt

Теперь интегрируем по частям:

\begin{aligned} u&=t,&\qquad dv&=\dfrac{2\tg t}{\cos^2t}\,dt\\ du&=dt,&v&=\tg^2t\end{aligned}

Здесь

v=\tg^2t

, поскольку производная квадрата тангенса равна

\frac{2\tg t}{\cos^2t}

. Следовательно,

\begin{aligned} I&=\bigl[t\tg^2t\bigr]_0^{\frac\pi3}-\int_0^{\frac\pi3}\tg^2t\,dt=\\ &=\pi-\int_0^{\frac\pi3}\left(\dfrac1{\cos^2t}-1\right)\,dt=\\ &=\pi-\bigl[\tg t-t\bigr]_0^{\frac\pi3} =\dfrac{4\pi}{3}-\sqrt3\end{aligned}