Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2254

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Задача 2254

Доказать, что если f(x)f(x) непрерывна на [a,b][a,b], то∫abf(x) dx=(b−a)∫01f(a+(b−a)x) dx.\int_a^bf(x)\,dx=(b-a)\int_0^1f\bigl(a+(b-a)x\bigr)\,dx.
Доказано:∫abf(x) dx=(b−a)∫01f(a+(b−a)x) dx,a⩽b\int_a^b f(x)\,dx
=(b-a)\int_0^1 f\bigl(a+(b-a)x\bigr)\,dx,
\qquad a\leqslant bРавенство доказано для непрерывной на [a,b][a,b] функции.

Доказательство

При a<ba<b линейная замена переводит отрезок [0,1][0,1] в [a,b][a,b]:t=a+(b−a)u,u=t−ab−a,dt=(b−a) dut=a+(b-a)u,
\qquad u=\dfrac{t-a}{b-a},
\qquad dt=(b-a)\,duНовые пределы определяются по концам исходного отрезка:t=a⟹u=0,t=b⟹u=1t=a\quad\Longrightarrow\quad u=0,
\qquad t=b\quad\Longrightarrow\quad u=1Подставляя новую переменную и её дифференциал, получаем∫abf(t) dt=(b−a)∫01f(a+(b−a)u) du\int_a^b f(t)\,dt
=(b-a)\int_0^1 f\bigl(a+(b-a)u\bigr)\,duНепрерывность ff обеспечивает существование обоих интегралов. Обозначения переменных интегрирования произвольны: заменяя tt и uu на используемую в условии букву xx, получаем требуемое равенство.

Если a=ba=b, обе его части равны нулю.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2254 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика