Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2260

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определённые интегралы:

Вычислить интеграл

\int_{1/2}^2\left(1+x-\frac1x\right)e^{x+1/x}\,dx,

введя новую переменную

t=x+\dfrac1x

Ответ:

\dfrac32e^{\frac52}

Решение

Выполним именно указанную замену:

t=x+\dfrac1x, \qquad \dfrac{dt}{dx}=1-\dfrac1{x^2}

На двух частях исходного отрезка новая переменная меняется по-разному:

\begin{array}{lll} \frac12\leqslant x\leqslant1: &t:\frac52\longrightarrow2 &\text{убывает}\\ 1\leqslant x\leqslant2: &t:2\longrightarrow\frac52 &\text{возрастает}\end{array}

Поэтому одинаковые значения

t

на исходных концах не дают нулевой интеграл: требуется разделить промежуток в точке

x=1

.

Из равенства

x^2-tx+1=0

получаем две обратные ветви:

x_-(t)=\dfrac{t-\sqrt{t^2-4}}2, \qquad x_+(t)=\dfrac{t+\sqrt{t^2-4}}2

Первая описывает

\frac12\leqslant x\leqslant1

, вторая

1\leqslant x\leqslant2

. При

t>2

дифференцирование этих формул даёт

x_\pm'(t)=\dfrac12\left(1\pm\dfrac{t}{\sqrt{t^2-4}}\right), \qquad dx=x_\pm'(t)\,dt

Кроме того, на любой из ветвей из формулы для дифференциала

dt

следует

x\,dt=\left(x-\dfrac1x\right)dx

Поэтому исходное выражение после замены имеет вид

\begin{aligned} \left(1+x-\dfrac1x\right)e^t\,dx &=e^t\,dx+xe^t\,dt=\\ &=e^t\bigl(x_\pm'(t)+x_\pm(t)\bigr)\,dt =d\bigl(x_\pm(t)e^t\bigr)\end{aligned}

Последнее равенство является правилом дифференцирования произведения.

В точке

t=2

производные обратных ветвей неограничены, но сами функции имеют конечные пределы

x_-(2)=x_+(2)=1

; граничные значения ниже понимаются как соответствующие пределы. Суммируя интегралы по двум ветвям, получаем

\begin{aligned} I&=\bigl[x_-(t)e^t\bigr]_{\frac52}^{2} +\bigl[x_+(t)e^t\bigr]_{2}^{\frac52}=\\ &=e^2-\dfrac12e^{\frac52}+2e^{\frac52}-e^2 =\dfrac32e^{\frac52}\end{aligned}

Для независимой проверки дифференцируем найденную первообразную по правилам произведения и сложной функции:

\begin{aligned} \dfrac d{dx}\left(xe^{x+\frac1x}\right) &=e^{x+\frac1x} +xe^{x+\frac1x}\left(1-\dfrac1{x^2}\right)=\\ &=\left(1+x-\dfrac1x\right)e^{x+\frac1x}\end{aligned}

Получена исходная подынтегральная функция. Это также показывает, почему в интеграле появился именно множитель

1+x-\frac1x